Se um dos membros da comissão tiver a missão de dialogar com a direção da escola e o outro, com a secretária da escola, então o número máximo de comissões distintas que podem ser formadas é igual a 18.
Como os papéis da comissão são relevantes, a ordem dos elementos importa.
Isso é as comissões {João, Maria} e {Maria, João} são distintas a depender de qual dos dois alunos irá dialogar com a direção.
Como a ordem importa, deve se usar a fórmula de Arranjo simples.
[tex]A_{s}(m,p)=\frac{m!}{(m-p)!}[/tex] em que m é a quantidade de alunos e p é a quantidade de elementos para compor a comissão.
[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5!}{(5-2)!}[/tex]
[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5!}{3!}[/tex]
[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5*4*3*2*1}{3*2*1}[/tex]
[tex]A_{s}(5,2)=5*4[/tex]
[tex]A_{s}(5,2)=20[/tex]
O número máximo de comissões distintas que podem ser formadas é superior a 18.
2) (2013 - ESAF) O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem é igual a:
A) 130
B) 124
C) 120
D) 115
E) 136
Anagramas são permutações entre uma sequência de letras.
Se o anagrama deve necessariamente começar com FA, então é uma permutação entre as 5 letras restantes.
F A _ _ _ _ _
Você pode pensar que a primeira casa vazia pode ser preenchida por qualquer uma das 5 letras {Z, E, N, D, A}.
A segunda casa pode ser preenchida por qualquer uma das 4 letras restante.
A terceira casa pode ser preenchuda por 3 letras, a segunda por duas e a última letra irá ficar na casa restante.
Trata-se de uma permutação simples de 5 elementos.
P(5) = 5!
P(5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
P(5) = 120
3) (2010 - Cespe) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue o item que se segue.
O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
O código tem o formato LLAAA, em que L é uma das 26 letras do alfabeto e A é um algarismo de 0 a 9.
As duas primeiras letras serão idênticas, logo há 26 alternativas para prencher as duas primeiras casas.
26 * 1 * A * A * A
O enunciado não informa se os algarismos devem ser distintos, portanto é válido assumir que possam ser todos iguais. Como há 10 dígitos de 0 a 9, então há 10 alternativas distintas para cada uma das casas dos algarismos.
26 * 1 * 10 * 10 * 10
Ao todo há 26.000 processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições, um número inferior a 28.000.
4) (2014 - Cespe) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
Será formado um grupo de 1 homem e 4 mulheres. A ordem dos integrantes não importa, então deve-se usar a fórmula da combinação.
Há C(20,1) maneiras distintas de se escolher 1 homem entre 20.
Há C(10,4) maneiras distintas de se escolher 4 mulheres entre 10.
[tex]C(m,p)=\frac{m!}{p!(m-p)!}[/tex] em que m é a quantidade de alunos e p é a quantidade de elementos para compor a comissão.
[tex]C(20,1)=\frac{20!}{1!(20-1)!}[/tex]
[tex]C(20,1)=\frac{20!}{1!*19!}[/tex]
[tex]C(20,1)=20[/tex]
[tex]C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!}[/tex]
[tex]C(10,4)=\frac{10!}{4!*6!}[/tex]
[tex]C(10,4)=\frac{10*9*8*7}{4*3*2*1}[/tex]
[tex]C(10,4)=10*3*7[/tex]
[tex]C(10,4)=210[/tex]
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição, sendo 1 homem E 4 mulheres é
= C(20,1) * C(10,4)
= 20 * 210
= 4.200
Uma quantidade superior a 4.000.
5) (2013 - FGV) O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de modo que a fila comece por uma vogal, é
A) 240.
B) 120.
C) 96.
D) 72.
E) 60.
Pode se pensar que há 6 casas a serem preenchidas com as letras {C, O, N, D, E, R}.
_ * _ * _ * _ * _ * _
Na primeira casa deve ter uma vogal, logo há duas opções para a primeira casa, a letra "O" ou a letra "E".
2 * _ * _ * _ * _ * _
As demais letras podem ser permutadas entre as 5 casas restantes.
2 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Ao todo, há 2* P(5) = 2 * 120 = 240 maneiras distintas de colocar as letras da sigla em fila começando por uma vogal.
6) (2013 - CESGRANRIO) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas.
De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56
Como João e Maria devem estar juntos, imagine-os como um bloco, {A, B}.
O par {A, B} pode ser permutados de 2 formas distintas: (A, B) e (B, A).
Na fila, há outras 3 pessoas {C, D, E}.
Em conjunto com o bloco {A, B}, há 4 elementos na fila. Então a quantidade de formas diferentes que essas pessoas podem se enfileirar é uma permutação de 4 elementos E uma permutação do bloco.
P(4) * P(2) = (4 * 3 * 2 * 1) * (2 * 1) = 48 maneiras distintas.
7) (2015 - FGV) Em uma urna há somente bolas brancas, bolas pretas e bolas vermelhas. Para cada bola branca há três bolas pretas e para cada duas bolas pretas há cinco bolas vermelhas.
A razão entre a quantidade de bolas pretas e a quantidade total de bolas na urna é:
A) 3/10
B) 4/19
C) 5/21
D) 6/23
E) 7/25
B = Bolas Brancas
P = Bolas pretas
V = Bolas vermelhas
Para cada bola branca há três bolas pretas. Se houvesse 10 bolas brancas (B=10), então haveria 30 bolas pretas (P=30).
Como P é maior que B, é necessário multiplicar B por três para manter a igualdade da equação.
3B = P
B = [tex]\frac{1}{3}[/tex]P
Para cada duas bolas pretas há cinco bolas vermelhas.
P = [tex]\frac{2}{5}[/tex]V
V = [tex]\frac{5}{2}[/tex]P
A razão, R, entre a quantidade de bolas pretas e a quantidade total de bolas na urna é
[tex]R=\frac{P}{P+B+V}[/tex]
[tex]R=\frac{P}{P+\frac{1}{3}P+\frac{5}{2}P}[/tex]
[tex]R=\frac{P}{P+\frac{2}{6}P+\frac{15}{6}P}[/tex]
[tex]R=\frac{P}{P+\frac{17}{6}P}[/tex]
[tex]R=\frac{P}{\frac{23}{6}P}[/tex]
[tex]R=\frac{6}{23}[/tex]
8) (2016 - MSCONCURSOS) Dona Amélia comprou 5 ovos de páscoa para compor a cesta de páscoa da família. Considerando que ela teve 9 opções de sabores para escolher, é correto afirmar que o número de maneiras possíveis para Dona Olga ter comprado esses ovos de páscoa é igual a
A) 126.
B) 495.
C) 715.
D) 1287.
A ordem em que os ovos são colocados na cesta não importa, então trata-se de uma combinação com repetição de 5 entre 9 elementos.
[tex]C_{rep}(m,p) = C(m+p-1,p)[/tex]
[tex]C_{rep}(9,5) = C(13,5)[/tex]
[tex]C(13,5)=\frac{13!}{5!(13-5)!}[/tex]
[tex]C(13,5)=\frac{13!}{5!8!}[/tex]
[tex]C(13,5)=\frac{13*12*11*10*9}{5*4*3*2}[/tex]
[tex]C(13,5)=13*3*11*3[/tex]
[tex]C(13,5)=1287[/tex]
Explicação sobre a fórmula
Se não ficou claro para você o motivo por que [tex]C_{rep}(m,p) = C(m+p-1,p)[/tex], segue uma analogia.
Imagine que há 9 caixas com ovos de páscoa, cada caixa com um sabor diferente.
As caixas estão alinhadas e divididas por 8 divisórias. Na imagem as divisórias estão em vermelho:
Uma possível combinação de 5 ovos poderia ser presentada pela imagem:
É importante notar que qualquer combinação depende somente onde os ovos estão localizados com relação às divisórias.
Se essa combinação for representada por x e D em que "x" é um ovo e "D" uma divisória, ficaria assim:
{x,x,x,D,D,x,D,x,D,D,D,D,D}
Uma segunda combinação
Seria {D,D,D,x,D,x,D,x,D,x,x,D,D}.
De quantas formas você pode alocar os cinco ovos entre as 9 caixas? Como o que importa é apenas a ordem dos ovos e das divisórias. Segue que é uma permutação de 13 elementos, com 5 "x" repetidos e 8 "D" repetidos.
[tex]P_{rep}(13)=\frac{13!}{5!8!}=C(13,5)[/tex]
9) (2015 - FGV) No primeiro turno do campeonato piauiense de futebol 6 times participam, mas somente 4 chegam às semifinais.
O número de possibilidades diferentes para o conjunto dos 4 times que estarão nas semifinais é:
A) 10;
B) 12;
C) 15;
D) 18;
E) 30.
As chaves (ordem) não importam, então trata-se de uma combinação de 4 elementos entre 6. [tex]C(6,4)=\frac{6!}{4!(6-4)!}[/tex]
[tex]C(6,4)=\frac{6!}{4!2!}[/tex]
[tex]C(6,4)=\frac{6*5}{2}[/tex]
[tex]C(6,4)=3*5[/tex]
[tex]C(6,4)=15[/tex]
10) (2010 - Cespe) Em uma sala de aula foram escolhidos 5 alunos para se formar uma comissão de 2 elementos. Acerca dessa comissão, julgue o item que se segue.
Se os alunos da comissão tiverem funções idênticas, então a quantidade máxima de comissões distintas que podem ser formadas é igual a 10.
Como as funções são idênticas, não importa a ordem dos alunos dentro da comissão. Isto é, o conjunto {João, Maria} é igual ao conjunto {Maria, João}. Como a ordem não importa, deve-se usar a fórmula da combinação de 2 elementos entre 5. [tex]C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}[/tex]
[tex]C(5,2)=\frac{5!}{2!3!}[/tex]
[tex]C(5,2)=\frac{5*4}{2}[/tex]
[tex]C(5,2)=5*2[/tex]
[tex]C(5,2)=10[/tex]
Correta a questão.
11) (2015 - FGV) Sete pessoas formam uma fila e duas delas serão escolhidas para receber um brinde. O número de maneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que não sejam vizinhas é;
A) 15;
B) 18;
C) 20;
D) 24;
E) 30.
A quantidade de maneiras diferentes de se escolher 2 pessoas entre 7 pode ser calculada por meio da fórmula da combinação, pois a ordem das pessoas não importa. [tex]C(7,2)=\frac{7!}{2!(7-2)!}[/tex]
[tex]C(7,2)=\frac{7!}{2!5!}[/tex]
[tex]C(7,2)=\frac{7*6}{2}[/tex]
[tex]C(7,2)=7*3[/tex]
[tex]C(7,2)=21[/tex]
O enunciado proíbe que as duas pessoas selecionadas sejam vizinhas. Como há 7 pessoas na fila, há 6 pares de vizinhos. Você pode pensar que as pessoas estão de mãos dadas e contar quantas mão estão unidas. Se tivesse duas pessoas, seriam 2 mãos. Se tivesse três pessoas na fila, seriam 2 mãos. O número de mãos é inferior em uma unidade ao número de pessoas na fila.
Há 21 pares diferentes ao todo.
Há 6 pares vizinhos.
Então, há 15 pares que cumprem a condição do enunciado.
12) (2012 - CESGRANRIO) No estojo de Pedro, há nove canetas idênticas, exceto pelas cores: três são azuis, quatro são vermelhas e duas são pretas. O professor de matemática de Pedro o desafiou perguntando-lhe qual é o menor número de canetas que ele deve retirar, aleatoriamente, de seu estojo para garantir que, dentre as canetas retiradas, haja, pelo menos, uma caneta de cada cor
Que número é esse?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Para responder à questão, deve-se considerar a pior hipótese possível, ou seja, a hipótese em que Pedro retira o maior número possível de canetas da mesma cor.
Para garantir que ele tenha pelo menos uma caneta de cada cor, Pedro deve retirar 8 canetas.
Se ele retirar 7 canetas aleatoriamente, ele pode ter o azar de retirar as quatro canetas vermelhas e as três canetas azuis. Nessa pior cenário possível, Pedro não tem uma caneta de cada cor, porque não tem canetas pretas. A próxima retirada vai garantir que tenha uma preta. Por isso, a resposta é a letra D.
13) (2014 - UFBA) O centro de uma cidade é uma região plana, cortada por 5 ruas no sentido leste-oeste e 7 ruas no sentido norte-sul, como na ilustração, na qual o tracejado representa um trecho em obras fechado para o tráfego. Se um táxi parte da extremidade noroeste dessa região, seguindo essas ruas, sempre nos sentidos leste ou sul, há exatamente 140 caminhos distintos que ele pode usar para chegar à extremidade sudeste.
Há 5 ruas horizontais e 7 ruas verticais.
Para chegar do noroeste ao sudeste são necessários 10 passos, 4 na direção Sul e 6 na direção Leste em qualquer ordem. Se os passos puderem ser representados pela sequência (S, S, S, S, L, L, L, L, L, L), então fica claro que a resposta, sem levar em contar a restrição, seria uma permutação com repetição entre esses 12 elementos.
Exemplo de percursos que atendem ao trajeto:
(S, L, L, S, S, L, L, S, L, L)
(L, S, S, L, L, L, S, L, L, S)
Como há duas ruas bloqueadas. Todas as sequências que começam por (L, L, ...) não são válidas.
É necessário calcular dois grupos de permutação com repetição.
1) Os que começam por um passo ao Sul, pois a partir de então não há como voltar às ruas bloqueadas, visto que o táxi só viaja nas direções sul ou leste.
2) Os que começam por m passo ao Leste seguindo por um passo ao Sul.
Isto é:
1) (S, ... ) Sobram 9 elementos, sendo três letras S e seis letras L.
2) (L, S, ...) Sobram 8 elementos, sendo três letras S e cinco letras L.
As fórmulas são respectivamente:
1) [tex]\frac{P(9)}{P(3)*P(6)}=\frac{9!}{3!*6!}=84[/tex] rotas começando pelo Sul.
2) [tex]\frac{P(8)}{P(3)*P(5)}=\frac{8!}{3!*5!}=56[/tex] rotas começando pelo Leste e seguindo ao Sul.
Ao todo 84 + 56 = 140.
Nesse vídeo há uma forma alternativa de calcular o número de rotas.
https://youtu.be/9QduzzW10uA
Tem legenda em português.
1 comment:
Muuuito bom!Parabéns.
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