“Todas as bolas desse saco são pretas”.
Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
A) A letra A está errada porque a negação de uma afirmação equivale ao conjunto complementar da afirmação. A negação precisa abranger todos os casos em que a afirmação original seria falsa. Afirmar que nenhuma bola desse saco é preta é um dos casos em que a afirmação seria falsa; é uma condição suficiente para negar o que João disse, mas não é condição necessária. Bastaria que uma ou mais bolas não fossem pretas.
Se não ficou claro, posso dar um exemplo. Imagine que eu te diga que comentei todas as questões de RLM da prova da FGV para o cargo de Oficial de Chancelaria. Você lê a minha postagem e observa que só respondi a duas questões. Você me acusa minha afirmação de falsa. Para me defender eu argumento erroneamente que minha afirmação só seria falsa se eu não tivesse respondido questão alguma e que, logo, sua acusação não procede.
Por isso a negação lógica de “todo” não pode ser “nenhum”.
B) A letra B está errada porque a afirmação abrange dois casos possíveis. No primeiro caso, há 9 bolas pretas e uma bola de outra cor. Nesse cenário, a afirmação do João seria falsa, pois há realmente uma bola que não é preta. Todavia, há uma segunda interpretação possível a letra B, todas as bolas são pretas. Se todas as dez bolas forem pretas, então eu posso corretamente afirmar que “pelo menos 9 bolas são pretas”. Como a negação não contempla esse caso, a assertiva está errada.
C) A letra C está errada pelo mesmo motivo da letra acima.
D) A letra D está certa porque se houver uma ou mais bolas de outra cor que não preta, então o que João disse deixa de ser verdadeiro. Lembre-se que a negação de todo é “existe pelo menos um”, ou “existe algum”, ou “algum”, ou outra expressão semelhante que implique da existência de uma unidade ou mais.
E) A letra E está errada porque pode estar de acordo com o que João disse. Pode ser que todas as bolas sejam pretas e, portanto, nenhuma bola é branca. Ou seja, o fato de nenhuma bola ser branca não exclui a possibilidade de todas serem pretas.
72. Em em supermercado uma embalagem com certa quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação R$/kg.
O preço aproximado de 1,0 kg desse produto é:
(A) R$20,50;
(B) R$21,10;
(C) R$21,80;
(D) R$22,30;
(E) R$22,90.
Se o preço de 0,160 kg é R$ 3,66, então o preço de um quilo pode ser obtido dividindo 3,66 por 0,160.
Isso porque para transformar 0,160 kg em 1,00 kg, basta dividir 0,160 kg por 0,160.
A mesma operação deve ser aplicada no preço para manter a proporção.
3,66 / 0,160 = R$ 22,875. Aproximadamente 22,90. Muito caro, melhor voltar a comprar mortadela.
73. Considere a sentença:
“Corro e não fico cansado”.
Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
Vamos dizer que:
P = Corro
~Q = Não fico cansado.
A proposição do enunciado pode ser reescrita de forma lógica: P ^ ~Q
A negação dessa proposição é: ~(P ^ ~Q)
Pelo Teorema de DeMorgan, essa negação equivale a: ~P v Q
Por sua vez, essa disjunção pode ser transformada em implicação material: P → Q
Logo, uma das negações de “corro e não fico cansado” é “se corro, então fico cansado”. Adeus Olimpíadas.
Tabela Verdade com as assertivas:
74. Em certo ano, o dia 31 de dezembro caiu em um domingo e, em um reino distante, o rei fez o seguinte pronunciamento:
“Como as segundas-feiras são dias horríveis, elas estão abolidas a partir de hoje. Assim, em nosso reino, cada semana terá apenas 6 dias, de terça-feira a domingo. Portanto, como hoje é domingo, amanhã, o primeiro dia do ano novo, será terça-feira.”
O ano novo não foi bissexto. Então, nesse reino distante, o dia de Natal (25 de dezembro) desse ano caiu em:
(A) uma terça-feira;
(B) uma quarta-feira;
(C) uma quinta-feira;
(D) uma sexta-feira;
(E) um sábado.
O ano tem 365 dias (não, sério capitão óbvio?).
Após a abolição das segundas-feiras, a semana passou a ter 6 dias. Segue o cálculo para provar:
7 dias - 1 dia = 6 dias. Você pode tirar a prova na calculadora.
Natal, dia 25 de dezembro, é o 359º dia do ano. Se você dividir o índice (posição ordinal) do dia por 6, o resto da divisão vai representar o dia da semana conforme tabela a seguir:
Por exemplo, o primeiro dia é 1 e 1/6 = 0 resto 1. Como o resto é igual a 1, o primeiro dia é uma terça-feira.
O vigésimo sétimo dia é 27 e 27/6 = 4 resto 3. Como o resto é igual a 3, o 27º dia é uma quinta-feira.
Logo, basta dividir 359 por 6 para obter resto 5 e descobrir que o Natal vai cair em um sábado.
75. Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15.
Retiram-se aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna.
A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é: (A) [tex]\frac{1}{2}[/tex]
(B) [tex]\frac{3}{7}[/tex]
(C) [tex]\frac{4}{7}[/tex]
(D) [tex]\frac{7}{15}[/tex]
(E) [tex]\frac{8}{15}[/tex]
Observe primeiramente que há 7 números pares e 8 números ímpares entre 1 e 15.
A probabilidade da primeira bola retirada ser par é igual a 7/15.
A probabilidade da primeira bola retirada ser ímpar é igual a 8/15.
Após a primeira retirada restam 14 bolas na urna.
(i) A probabilidade retirar duas bolas pares é igual a: (7/15) * (6/14);
(ii) A probabilidade de retirar uma bola par e depois uma ímpar é: (7/15) * (8/14);
(iii) A probabilidade de retirar uma bola ímpar e depois uma par é: (8/15) * (7/14);
(iv) A probabilidade retirar duas bolas ímpares é igual a: (8/15) * (7/14).
Uma vez elencado todos os casos possíveis, A; probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é igual a (i) + (iii).
= (7/15) * (6/14) + (8/15) * (7/14)
>= (7/15) * (3/7) + (8/15) * (1/2)
= (1/5) + (4/15)
= (3/15) + (4/15)
= 7 / 15
76. Lucas é artesão, fabrica vassouras e, certo dia, levou 40 vassouras para vender na feira. Ele começou vendendo cada vassoura por 12 reais e, perto do final, baixou o preço para a metade, terminando o dia com todo o seu estoque vendido, arrecadando 336 reais.
O número de vassouras que Lucas vendeu pelo preço mais alto foi:
(A) 12;
(B) 14;
(C) 15;
(D) 16;
(E) 18.
Essa questão pode ser resolvida por meio de um sistema de equações lineares.
A variával x vai representar o número de vassouras que Lucas vendeu por 12 reais e a variável y vai representar o número de vassouras que Lucas vendeu a 6 reais.
O total de vassouras vendidas foi 40, então:
x + y = 40
A arrecadação pela venda é igual ao preço multiplicado pela quantidade de vassouras
12x + 6y = 336
Se multiplicar a primeira equação por 6 ficamos com:
6x + 6y = 240
Se subtrairmos esse resultado da segunda equação ficamos com:
12x + 6y - (6x + 6y) = 336 - (240)
12x + 6y - 6x - 6y = 336 - 240
6x = 96
x = 16
77. Considere três caixas A, B e C. Na caixa A há dez bolas brancas, na caixa B há doze bolas pretas e na caixa C há oito bolas azuis.
Inicialmente, retiram-se seis bolas da caixa A, que são colocadas na caixa B. A seguir, retiram-se aleatoriamente oito bolas da caixa B, que são colocadas na caixa C. Por último, retiram-se aleatoriamente seis bolas da caixa C, que são colocadas na caixa A.
Ao final desse processo, é correto concluir que:
(A) na caixa A há, no mínimo, quatro bolas azuis;
(B) na caixa A há, no máximo, oito bolas brancas;
(C) na caixa B há, no máximo, dez bolas pretas;
(D) na caixa B há, no mínimo, quatro bolas brancas;
(E) na caixa C há, no máximo, quatro bolas azuis.
Caixa A: 10 bolas brancas;
Caixa B: 12 bolas pretas;
Caixa C: 8 bolas azuis.
Retiram-se 6 bolas brancas de A que são colocadas na caixa B.
Caixa A: 4 bolas brancas;
Caixa B: 12 bolas pretas e 6 bolas brancas;
Caixa C: 8 bolas azuis.
Retiram-se aleatoriamente oito bolas da caixa B, que são colocadas na caixa C.
Aqui é necessário observar que podem ser retiradas conjuntos diferentes de bolas de determinada cor. Por exemplo, é possível retirar 4 bolas pretas e 4 bolas brancas da caixa B. O ideal é identificar os extremos, retirar o máximo possível de determinada cor. Os dois extremos são:
1) Retirar todas as bolas brancas: 2 bolas pretas e todas as 6 bolas brancas.
2) Retirar todas 8 bolas pretas.
Caixa A (4 bolas): 4 bolas brancas;
Caixa B (10 bolas): 4 a 10 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas;
Caixa C (16 bolas): 8 bolas azuis, 2 a 8 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas.
Por último, retiram-se aleatoriamente seis bolas da caixa C, que são colocadas na caixa A.
Usa-se a mesma estratégia da alocação anterior. Verifica-se cada caso ao extremo para saber quantas bolas de cada cor podem restar dentro das caixas.
Caixa A (10 bolas): 4 a 10 bolas brancas, 2 a 6 bolas pretas e 0 a 6 bolas azuis;
Caixa B (10 bolas): 4 a 10 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas;
Caixa C (10 bolas): 2 a 8 bolas azuis, 0 a 8 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas.
(A) na caixa A há, no mínimo, quatro bolas azuis;
Errado. É possível que não haja bolas azuis na caixa A.
(B) na caixa A há, no máximo, oito bolas brancas;
Errado. Pode ser que fiquem 10 bolas brancas na caixa A.
(C) na caixa B há, no máximo, dez bolas pretas;
Certo. Impossível haver mais de 10.
(D) na caixa B há, no mínimo, quatro bolas brancas;
Errado. Contamos 6 bolas brancas.
(E) na caixa C há, no máximo, quatro bolas azuis.
Errado. Podem ter restado todas as 8 bolas azuis na caixa C.
78. Uma turma do curso de Relações Internacionais tem 28 alunos e todos falam inglês. Sabe-se que 17 alunos falam espanhol e que 15 alunos falam francês.
O número mínimo de estudantes dessa turma que falam esses três idiomas é:
(A) 4;
(B) 5;
(C) 6;
(D) 7;
(E) 8.
I = Alunos que falam inglês;
E = Alunos que falam espanhol;
F = Alunos que falam francês;
IE = Alunos que falam inglês e espanhol;
IF = Alunos que falam inglês e francês;
EF = Alunos que falam espanhol e francês;
IEF = Alunos que falam as três línguas.
Total de Alunos = I + E + F - IE - IF - EF + IEF
28 = 28 + 17 + 15 - IE - IF - EF + IEF
28 = 60 - IE - IF - EF + IEF
28 = 60 + IEF - (IE + IF + EF)
Para manter a igualdade é necessário que "IEF - (IE + IF + EF)" seja igual a -32.
O problema quer saber qual é o menor número possível que IEF pode assumir.
Essa questão equivale a descobrir qual é o maior valor que (IE + IF + EF) pode assumir, pois quanto maior (IE + IF + EF) tanto menor será IEF.
Qual é o maior valor possível para IE? Como todos os alunos falam inglês, então não é possível que haja um aluno que fale espanhol, mas não fale inglês.
Portanto, todos os alunos que falam espanhol também falam inglês e IE = 17.
Qual é o maior valor possível para IF? Usando o mesmo raciocínio anterior, IF = 15.
Qual é o maior valor possível para EF? Ao somarmos 17 com 15 obtemos 32, 4 alunos acima do total. Portanto, o máximo de alunos que podem fazer parte da interseção EF é 4.
28 = 60 + IEF - (IE + IF + EF)
28 = 60 + IEF - (17 + 15 + 4)
28 = 60 + IEF - (36)
28 = 24 + IEF
IEF = 4
79. Em uma reunião, as únicas pessoas presentes são políticos de três partidos: PA, PB e PC. Para cada três políticos do partido PA há dois políticos do partido PB e, para cada cinco políticos do partido PB, há quatro políticos do partido PC.
Nessa reunião, a razão entre o número de políticos do partido PB e o número total de políticos é:
(A) [tex]\frac{10}{33}[/tex]
(B) [tex]\frac{11}{34}[/tex]
(C) [tex]\frac{12}{35}[/tex]
(D) [tex]\frac{13}{36}[/tex]
(E) [tex]\frac{14}{37}[/tex]
Se proporção entre PA e PB é de 3:2, então, para se manter a igualdade de uma equação, é necessário multiplicar o número de políticos do Partido A por 2 e o de B por 3.
2*PA = 3*PB
PA = (3/2)*PB
O enunciado informa ainda que para cada cinco políticos do partido PB, há quatro políticos do partido PC.
4*PB = 5*PC
PC = (4/5)*PB
A questão quer saber a razão entre o número de políticos do partido B e o total.
= PB / Total
= PB / (PA + PB + PC)
= PB / ([tex]\frac{3}{2}[/tex]*PB + PB + [tex]\frac{4}{5}[/tex]*PB)
= PB / ([tex]\frac{33}{10}[/tex]*PB)
= 1 / [tex]\frac{10}{33}[/tex]
= [tex]\frac{33}{10}[/tex]
80. André, Beatriz e Carlos são adultos, Laura e Júlio são crianças e todos vão viajar em um automóvel com 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Dos adultos, somente Carlos não sabe dirigir. As crianças viajarão atrás, mas Júlio faz questão de ficar em uma janela.
O número de maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem ocupar os cinco lugares do automóvel é:
(A) 12;
(B) 16;
(C) 18;
(D) 20;
(E) 24.
Podemos pensar assim.
André como motorista, Beatriz de copilota e Carlos com as crianças no banco de trás.
Carlos e as crianças podem permutar entre os 3 lugares de 6 maneiras distintas.
P(3) = 3! = 3*2*1 = 6
Considerando os três lugares disponíveis, podemos representá-los da seguinte maneira: (pessoa atrás do motorista, pessoa sentada no meio, pessoa sentada atrás do banco de passageiro). E usando as iniciais para identificar o nome das pessoas, temos as seis alocações possíveis:
(C, L, J), (J, L, C), (L, C, J), (J, C, L), (C, J, L) e (L, J, C).
Todavia, nas duas últimas posições Júlio está sentado no meio e o enunciado informa que esse menino só aceita ficar em uma janela.
Dessa forma, temos que eliminar os dois últimas casos.
(C, L, J), (J, L, C), (L, C, J), (J, C, L),
Sobram 4 permutações admitidas.
Agora vamos mudar os assentos dos adultos.
De forma muito semelhante, podemos representar os assentos assim: (pessoa dirigindo, pessoa ao lado do motorista, pessoa no banco de trás).
Os três adultos também podem permutar entre os três lugares de seis maneiras diferentes:
(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B) e (C, B, A).
Todavia, nas duas últimas posições Carlos está no volante e ele não sabe dirigir. Portanto, devemos eliminar essas duas alocações.
(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A),
Para cada uma entre quatro das posições que os adultos assumirem é possível alocar os passageiros do banco de trás de quatro maneiras distintas conforme explicado anteriormente.
Ao todo, são 4 posições para adultos vezes 4 posições no banco de trás totalizando 16 maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem ocupar os cinco lugares do automóvel.
