Raciocínio Lógico e Matemático: December 2015

Principais conectivos

Os conectivos lógicos unem as proposições simples.
Os principais conectivos são: "não", "e", "ou", "se..., então", "ou..., ou...", e "se e somente se".
Todos podem ser expressos por símbolos.

Conectivo	Nome	Símbolo usado	Símbolos alternativos
Não	Negação	~	¬, N (prefixo), barra superior ([tex]\bar{P}[/tex])
E	Conjunção	^	K (prefixo), & , ∙
Ou	Disjunção	∨	A (prefixo)
Se..., então...	Condicional (implicação)	→	C (prefixo), [tex]\Rightarrow[/tex], [tex]\supset[/tex]
Se e somente se	Bicondicional	↔	E (prefixo), [tex]\Leftrightarrow[/tex], ≡, =
Ou..., ou	Disjunção exclusiva	⊕	⊻, ↮, ≢

O valor lógico das proposições compostas vai depender:

Do valor lógicos das proposições simples que a integram;
Do conectivos usados para juntar as proposições simples.

Tabela Verdade

A tabela verdade elenca os valores de expressões lógicas baseado nas proposições simples que as compõem.
Considere as proposições simples P e Q. Para duas proposições simples, há 4 combinações de valores possíveis:

P = V e Q = V
P = V e Q = F
P = F e Q = V
P = F e Q = F

Convencionalmente, cada combinação de valor será representada por uma linha na tabela verdade.

Exemplo de tabela verdade para duas proposições simples P e Q e os principais conectivos lógicos:

P	Q	~P	~Q	P ∧ Q	P ∨ Q	P → Q	P ↔ Q	P ⊕ Q
V	V	F	F	V	V	V	V	F
V	F	F	V	F	V	F	F	V
F	V	V	F	F	V	V	V	F
F	F	V	V	F	F	V	F	V

Negação

A negação inverte o valor lógico da proposição. A proposição verdadeira se torna falsa; e a proposição falsa se torna verdadeira. Pode ser usando em proposições simples ou compostas, mas o resultado é diferente.

(~P v ~Q) ≠ ~(P v Q)

Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Vanessa não gosta de maçã.

P = Vanessa gosta de maçã;
~P = Vanessa não gosta de maçã.

2) Marcos nunca joga basquete.

Q = Marcos joga basquete
~Q = Marcos nunca joga basquete

3) Camila jamais fumou.

R = Camila fuma
~R = Camila jamais fumou.

Conjunção

Uma conjunção só é verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras. Um proposição falsa vai "contaminar" a expressão composta e o resultado será falso. Considerando as proposições simples P, Q, R, S e T, a expressão (P ^ Q ^ R ^ S ^ T) será falsa se uma ou mais proposições simples forem falsas, como por exemplo, se S for falso.

(V ^ V ^ V ^ F ^ V) = F.

Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Jonas vai ao cinema e Marta vai à praia.

P = Jonas vai ao cinema;
Q = Marta vai à praia;
P ^ Q = Jonas vai ao cinema e Marta vai à praia.

2) Luciana gosta de Rock, mas não gosta de Nickleback.

R = Luciana gosta de Rock;
S = Luciana gosta de Nickleback;
R ^ ~S = Luciana gosta de Rock, mas não gosta de Nickleback

Disjunção

Uma disjunção só é falsa quando todas as proposições simples forem falsas. De forma semelhante à conjunção, uma proposição verdadeira vai "contaminar" a expressão e o resultado será verdadeiro. Considerando as proposições simples P, Q, R, S e T, a expressão (P v Q v R v S v T) será verdadeira se uma ou mais proposições simples forem falsas, como por exemplo, se R for verdadeiro.

(F v F v V v F v V) = V.

Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Sofia quer um chocolate amargo ou ao leite.

P = Sofia quer um chocolate amargo;
Q = Sofia quer um chocolate ao leite;
P v Q = Sofia quer um chocolate amargo ou ao leite.

2) Emiliano come Doritos ou joga Overwatch.

R = Emiliano come Doritos;
S = Emiliano joga Overwatch;
R v S = Emiliano come Doritos ou joga Overwatch

Condicional

A condicional só é falsa quando a proposição antecedente é verdadeira e a consequente é falsa. A ordem importa. Quando aparecer em sequência deve ser resolvida da direita para esquerda.
A condicional suscita dúvida quando o antecedente é falso. Nesse caso, o valor lógico do consequente não importa, pois a expressão será sempre avaliada como verdadeira. Por quê? Porque é natural assumir que uma premissa ou conclusão seja verdadeira até provar o contrário. Considere a seguinte afirmação:
"Se chove, então o pátio está molhado."
Considere também as quatro hipóteses possíveis:

Choveu e o pátio está molhado
Choveu e o pátio não está molhado
Não choveu e o pátio está molhado
Não choveu e o pátio não está molhado

A primeira hipótese está condizente com a afirmação.
A segunda hipótese vai de encontro à afirmação. É o único caso em que P→Q será falso, pois P é verdadeiro e Q é falso.
A terceira hipótese não invalida a afirmação, porque o pátio pode estar molhado por outras razões além da que foi declarada. É uma falácia comum concluir a partir da afirmação inicial que "se o pátio está molhado, então choveu". Chama-se "falácia da afirmação do consequente".
A quarta hipótese não permite conclusões que contrariem a afirmação inicial. Afinal de contas, se não choveu, como provar que a afirmação está errada?
Por isso a condicional só é falsa quando (Verdadeiro→Falso), condição representada na segunda hipótese descrita acima.

Condição Suficiente e Condição Necessária
Muitas vezes você vai encontrar os termos "condição suficiente" e "condição necessária" para descrever respectivamente as proposições simples antecedente e consequente que compõem a condicional.
Considere a condicional P→Q.

P é condição suficiente para Q. Porque se P ocorreu, então Q será desencadeado.
Q é condição necessária para P. Porque é necessário que Q ocorra para que P tenha ocorrido. Isto é, se Q não ocorreu, então com certeza P tampouco.

Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Se Sabrina é inteligente, então ela é a candidata perfeita.

P = Sabrina é inteligente;
Q = Sabrina é a candidata perfeita;
P → Q = Se Sabrina é inteligente, então ela é a candidata perfeita.

2) Eu sou príncipe porque meu pai é rei.

R = Meu pai é rei;
S = Eu sou príncipe;
R → S = Se meu pai é rei, então eu sou príncipe. (Atente para a relação de causa e consequência)

3) Quando der dezesseis horas, tomaremos chá.

T = É dezesseis horas;
U = Nós tomamos chá;
T → U = Se é dezesseis horas, então tomamos chá.

4) Todas as mulheres são bonitas.

V = É mulher;
W = É bonita;
V → W = Se é mulher, então é bonita.

Bicondicional

A bicondicional é verdadeira quando há uma quantidade par de proposições simples falsas.
A expressão (P↔Q↔R↔S↔T) será verdadeira se:

Todas as 6 proposições simples forem falsas (zero é par);
Exatamente duas proposições simples forem falsas (dois é par);
Exatamente quatro proposições simples forem falsas (quatro é par);
Todas as 6 proposições simples forem falsas (seis é par).

A bicondicional equivale a conjunção de duas condicionais.

(P↔Q)≡(P→Q)^(Q→P)

Exemplo de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Gabriel aciona o alarme se, e somente se, houver incêndio.

P = Gabriel aciona o alarme;
Q = Há incêndio;
P ↔ Q = Gabriel aciona o alarme se, e somente se, houver incêndio.

2) Eduardo vai à praia desde que Mônica vá também.

R = Eduardo vai à praia;
S = Mônica vai à praia;
R ↔ S = Eduardo vai à praia se, e somente se, Mônica for também.

Disjunção Exclusiva

A disjunção exclusiva é verdadeira quando há uma quantidade ímpar de proposições simples verdadeiras.
A expressão (P⊕Q⊕R⊕S⊕T) será verdadeira se:

Exatamente uma proposição simples for verdadeira (um é ímpar);
Exatamente três proposições simples forem verdadeiras (três é ímpar);
Exatamente cinco proposições simples forem verdadeiras (cinco é ímpar).

Exemplo de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Ou estudo português, ou estudo inglês, mas não ambos.

P = Estudo português;
Q = Estudo inglês.;
P ⊕ Q = Ou estudo português, ou estudo inglês.

2) Ora Carolina vai ao mercado, ora pede pizza para entrega.

R = Carolina vai ao mercado;
S = Carolina pede pizza para entrega;
R ⊕ Q = Ora Carolina vai ao mercado, ora pede pizza para entrega.

3) Jaime é inocente, ou então não me chamo Sherlock Holmes.

T = Jaime é inocente;
U = Eu me chamo Sherlock Holmes;
T ⊕ U = Jaime é inocente, ou então não me chamo Sherlock Holmes.

CUIDADO COM AS TRADUÇÕES!!

As traduções da linguagem para simbologia lógica não seguem regras rígidas. Por exemplo, é comum em provas de concursos traduzirem frases como "João dorme ou estuda" como disjunção inclusiva porque não há um segundo "ou" no início da frase. O senso comum nos diz que é impossível João dormir e estudar ao mesmo tempo e, portanto, seria melhor representado por uma disjunção exclusiva. O melhor a fazer diante de casos semelhantes é checar as alternativas. Caso seja prova de verdadeiro ou falso, assuma que é uma disjunção inclusiva.
Atenção também se for prestar prova do Cespe, porque a banca não reconhece a existência da Disjunção Exclusiva. É um absurdo, mas para o Cespe "Ou estou em Roma, ou estou em Paris" é uma disjunção inclusiva. A Cespelândia é um universo regido por regras quânticas em que pessoas podem estar em dois lugares ao mesmo tempo. :)

Quantas linhas tem uma Tabela Verdade?

Depende do número de proposições simples. Se houver n proposições simples, então haverá [tex]2^{n}[/tex] linhas na tabela excluindo o cabeçalho.
Então, 2 proposições simples rendem [tex]2^{2}= 4 [/tex] linhas.
Três proposições simples rendem [tex]2^{3}= 8 [/tex] linhas.
Quatro proposições simples rendem [tex]2^{4}= 16 [/tex] linhas e assim por diante.

Visualização por conjuntos

Os conectivos podem ser representados por conjuntos. A negação equivale ao conjunto complementar, a conjunção equivale à interseção, a disjunção equivale a união.