001 - Proposições

Introdução

Uma prova é um método de estabelecer a verdade.
Existem diferentes métodos de provar uma verdade a depender da área de conhecimento. Aqui nos interessa a verdade sob a ótica da lógica matemática.
A prova de uma proposição matemática é construída por meio de uma cadeia de deduções lógicas a partir de axiomas até a proposição que se deseja provar.

Proposição

Uma proposição é uma frase declarativa que pode ser avaliada ora como verdadeira, ora como falsa.
Considere as proposições a seguir:
Proposição X:  1 + 2 = 3
Proposição Y:  Porcos são alados.
A primeira proposição, X, é verdadeira, enquanto que a segunda proposição, Y, é falsa.

Princípios Ontológicos

Os três principais princípios ontológicos que regem as proposições são:
Identidade: Toda proposição é idêntica a si.
Não contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira, ou é falsa. Não há intermediários.

Costuma-se em alguns livros mencionar um quarto princípio, mas está mais ligado à argumentação.
Razão Suficiente: Um enunciado que pode ser verdadeiro ou falso, é verdadeiro se houver uma razão que o fundamente.

Não é proposição

Uma declaração não é uma proposição se não for possível avaliá-la como verdadeira ou falsa.
Pergunta: Que horas são?
Ordem: Limpe o seu quarto!
Opinião: Eu acho que amanhã vai fazer sol.
Exclamação: Ai, meu Deus!
Sentença aberta: x + 3 = 5 (não dá avaliar sem saber o valor de x).

Proposição composta

Na linguagem falada é possível modificarmos, combinarmos e relacionarmos proposições usando palavras tais como "não", "apenas", "e", "ou", "implica", "se..., então...", entre outras.
A partir dessas palavras podemos combinar diversas proposições:
SE choveu E eu NÃO trouxe guarda-chuva, ENTÃO minha roupa está molhada.
Na frase acima, há três proposições simples que, juntas, formam a proposição composta.
1) Choveu
2) Eu não trouxe guarda-chuva
3) Minha roupa está molhada