Prova 2016 - ESAF - Funai - Todos os Cargos - Raciocínio Lógico Comentada

prova FUNAI Raciocínio Lógico Comentada

http://www.esaf.fazenda.gov.br/assuntos/concursos_publicos/em-andamento-1/funai-2016/prova-objetiva-1_gabarito-1.pdf

---

21. Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são mulheres e 50% dos adultos não obesos são mulheres. Indique qual a probabilidade de que uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso seja uma mulher.
A) 0,48
B) 0,49
C) 0,50
D) 0,51
E) 0,52

Se houvesse 100 pessoas na cidade, 40 delas seria obessas.
Entre essas 40 pessoas, 45% são mulheres.
45% de 40 é igual a 0,45*40 = 18 mulheres obesas.

Entre as 60 restantes, 50% são mulheres.
50% de 60 é igual a 30 mulheres.

Ao todo, há 48 mulheres nessa cidade. A probabilidade de escolher uma pessoa ao acaso e essa pessoa ser uma mulher é:
P(mulher) = número de mulheres / população total
P(mulher) = 48 / 100
P(mulher) = 0,48
Letra A.

---

22. Considerando os dados da questão anterior, indique qual a proporção de mulheres adultas que são obesas.
A) 5/8
B) 52%
C) 3/8
D) 11/26
E) 45%

Calculando que havia 18 mulheres obesas e 48 mulheres ao todo.
A proporção de mulheres adultas que são obesas é igual a 18/48, ou 3/8.
Letra C.

---

23. O triângulo I tem base b e altura h. O triângulo II tem base 25% maior e altura 20% menor que o triângulo I. A base do triângulo III é 1,25b e a altura é 0,8h.
Pode-se afirmar que:
A) A área do triângulo I é maior que a área do triângulo II.
B) A área do triângulo II é menor que a área do triângulo III.
c) Os triângulos II e III têm a mesma área que é maior que a área do triângulo I.
D) Os triângulos II e III têm a mesma área que é menor que a área de triângulo I.
E) Os três triângulos têm a mesma área.

A área de uma triângulo é igual a metade da multiplicação da base pela altura.

A área do triângulo I é igual a
[tex]\frac{bh}{2}[/tex].

A área do triângulo II é igual a
[tex]\frac{1,25b*0,8h}{2}[/tex]

[tex]=\frac{bh}{2}[/tex]


A área do triângulo II é igual a
[tex]\frac{0,8b*1,25h}{2}[/tex]

[tex]=\frac{bh}{2}[/tex]

Todas as áreas são iguais. A letra E responde a essa questão.

---

24. Considere as quatro letras A, C, G e T formando pares de letras nos quais A só forma par com T e C só forma par com G. Indique quantas sequências distintas de três pares ordenados de letras e com repetição podem ser formadas.
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Há dois pares (A,T) e (C,G).
Cada um dos pares pode ser permutados em duas ordens diferentes.
(A,T) e (T,A);
(C,G) e (G,C);

Digamos que há três casas que podem ser preechidas com qualquer um dos quatro pares.
_ * _ * _

Pelo princípio fundamental da contagem, a primeira casa pode ser preenchida com 4 pares quaisquer:
4 * _ * _

A segunda e terceira casa também.
4 * 4 * 4
Totalizando 64 sequências distintass.
Letra E.

---

25. O limite da série infinita S de razão 1/3,
S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ... é:
A) 13,444....
B) 13,5
C) 13,666....
D) 13,8
E) 14

Basta multiplicar a sequência pela razão e em seguida subtrair o resultado da sequência. Vai ficar apenas o primeiro termo do lado direito da equação e do lado esquerdo vai ficar (1-razão) multiplicado por S:
S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...
(1/3)S = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27...

S - (1/3)S = 9
(2/3)S = 9
S = (3/2)9
S = 27/2
S = 13,5

Letra B

---

26. Sejam as proposições p e q onde p implica logicamente q e sejam as negações ~p e ~q. Tem-se que:
A) p é equivalente logicamente a q.
B) p implica logicamente q e q implica p.
C) p implica logicamente q e ~p implica ~q.
D) p e ~q é uma contradição.
E) p ou ~q é uma tautologia.

Se P e Q são proposições distintas, segue que P não é equivalente logicamente a Q.
P implica Q, conforme diz o enunciado. Concluir a partir dessa informação que Q implica P é uma falácia conhecida por afirmação do consequente.
Concluir que ~P implica ~Q é outra falácia conhecida como negação do antecedente.
P e ~Q é uma contradição, pois P implica Q. Logo, se P ocorreu, então Q também ocorreu. Um caso em que P ocorreu e Q não ocorreu contradiz o enunciado.
P ou ~Q não é uma tautologia, porque os valores lógicos de P e Q podem ser respectivamente falso e verdadeiro. Não haveria conflito com o enunciado esse caso em que P não ocorreu, mas Q ocorreu. Haveria apenas conflito com a letra E.
Gabarito: D.

---

27. Sejam as proposições p e q onde p implica logicamente q. Diz-se de maneira equivalente que:
A) p é condição suficiente para q.
B) q é condição suficiente para p.
C) p é condição necessária para q.
D) p é condição necessária e suficiente para q.
E) q não é condição necessária para p.

Quando uma proposição P implica uma proposição Q, diz-se que P é condição suficiente para Q porque é suficiente P ocorrer para que Q ocorra.
Por exemplo, "se choveu, então o pátio está molhado". Chover é condição suficiente para o pátio estar molhado, pois basta ter chovido para molhar o pátio.
Diz-se que Q é condição necessária para P, porque se P ocorreu é necessário que Q tenha ocorrido também. Entende-se por aí que se Q não ocorreu, P também não ocorreu por contraposição.
Letra A.

---

28. Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” é:
A) o Piauí não faz parte do NE.
B) o Paraná faz parte do NE.
C) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE.
D) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.
E) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE.

Para negar uma proposição composta unida por uma disjunção inclusiva (ou) é necessário que ambas proposições simples sejam falsas.
Ou seja, "o Piauí não faz parte do NE" E "o Paraná faz parte do NE". Conforme consta na Letra D.

---

29. Seja a proposição: “Se um elemento possui a propriedade P então ele possui também a propriedade Q”. Para demonstrar que esta proposição é falsa, basta mostrar que:
A) todo elemento que possui a propriedade Q também possui a propriedade P.
B) existe um elemento que não possui nem a propriedade P nem a propriedade Q.
C) existe um elemento que possui a propriedade P, mas não possui a propriedade Q.
D) existe um elemento que não possui a propriedade P.
E) existe um elemento que possui a propriedade Q, mas não possui a propriedade P.

O enunciado está afirmando que todo elemento que possui a propriedade P possui também a propriedade Q.
Para contrariar basta encontrar um elemento que possui P, mas não possui Q.
Letra E.

---

30. Sejam as proposições (p) e (q) onde (p) é V e (q) é F, sendo V e F as abreviaturas de verdadeiro e falso, respectivamente. Então com relação às proposições compostas, a resposta correta é:
A) (p) e (q) são V.
B) Se (p) então (q) é F.
C) (p) ou (q) é F.
D) (p) se e somente se (q) é V.
E) Se (q) então (p) é F.

Tabela verdade para finalizar:

Letra B.

010.01 - Análise Combinatória - Exercícios Comentados

1) (2010 - Cespe) Em uma sala de aula foram escolhidos 5 alunos para se formar uma comissão de 2 elementos. Acerca dessa comissão, julgue o item que se segue.

Se um dos membros da comissão tiver a missão de dialogar com a direção da escola e o outro, com a secretária da escola, então o número máximo de comissões distintas que podem ser formadas é igual a 18.

Como os papéis da comissão são relevantes, a ordem dos elementos importa.
Isso é as comissões {João, Maria} e {Maria, João} são distintas a depender de qual dos dois alunos irá dialogar com a direção.
Como a ordem importa, deve se usar a fórmula de Arranjo simples.

[tex]A_{s}(m,p)=\frac{m!}{(m-p)!}[/tex] em que m é a quantidade de alunos e p é a quantidade de elementos para compor a comissão.

[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5!}{(5-2)!}[/tex]

[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5!}{3!}[/tex]

[tex]A_{s}(5,2)=\frac{5*4*3*2*1}{3*2*1}[/tex]

[tex]A_{s}(5,2)=5*4[/tex]

[tex]A_{s}(5,2)=20[/tex]

O número máximo de comissões distintas que podem ser formadas é superior a 18.

---

2) (2013 - ESAF) O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem é igual a:
A) 130
B) 124
C) 120
D) 115
E) 136

Anagramas são permutações entre uma sequência de letras.
Se o anagrama deve necessariamente começar com FA, então é uma permutação entre as 5 letras restantes.
F A _ _ _ _ _
Você pode pensar que a primeira casa vazia pode ser preenchida por qualquer uma das 5 letras {Z, E, N, D, A}.
A segunda casa pode ser preenchida por qualquer uma das 4 letras restante.
A terceira casa pode ser preenchuda por 3 letras, a segunda por duas e a última letra irá ficar na casa restante.

Trata-se de uma permutação simples de 5 elementos.
P(5) = 5!
P(5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
P(5) = 120

---

3) (2010 - Cespe) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue o item que se segue.

O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.

O código tem o formato LLAAA, em que L é uma das 26 letras do alfabeto e A é um algarismo de 0 a 9.
As duas primeiras letras serão idênticas, logo há 26 alternativas para prencher as duas primeiras casas.
26 * 1 * A * A * A

O enunciado não informa se os algarismos devem ser distintos, portanto é válido assumir que possam ser todos iguais. Como há 10 dígitos de 0 a 9, então há 10 alternativas distintas para cada uma das casas dos algarismos.
26 * 1 * 10 * 10 * 10

Ao todo há 26.000 processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições, um número inferior a 28.000.

---

4) (2014 - Cespe) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.

Será formado um grupo de 1 homem e 4 mulheres. A ordem dos integrantes não importa, então deve-se usar a fórmula da combinação.
Há C(20,1) maneiras distintas de se escolher 1 homem entre 20.
Há C(10,4) maneiras distintas de se escolher 4 mulheres entre 10.
[tex]C(m,p)=\frac{m!}{p!(m-p)!}[/tex] em que m é a quantidade de alunos e p é a quantidade de elementos para compor a comissão.

[tex]C(20,1)=\frac{20!}{1!(20-1)!}[/tex]

[tex]C(20,1)=\frac{20!}{1!*19!}[/tex]

[tex]C(20,1)=20[/tex]


[tex]C(10,4)=\frac{10!}{4!(10-4)!}[/tex]

[tex]C(10,4)=\frac{10!}{4!*6!}[/tex]

[tex]C(10,4)=\frac{10*9*8*7}{4*3*2*1}[/tex]

[tex]C(10,4)=10*3*7[/tex]

[tex]C(10,4)=210[/tex]

A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição, sendo 1 homem E 4 mulheres é
= C(20,1) * C(10,4)
= 20 * 210
= 4.200

Uma quantidade superior a 4.000.

---

5) (2013 - FGV) O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de modo que a fila comece por uma vogal, é
A) 240.
B) 120.
C) 96.
D) 72.
E) 60.

Pode se pensar que há 6 casas a serem preenchidas com as letras {C, O, N, D, E, R}.
_ * _ * _ * _ * _ * _

Na primeira casa deve ter uma vogal, logo há duas opções para a primeira casa, a letra "O" ou a letra "E".
2 * _ * _ * _ * _ * _

As demais letras podem ser permutadas entre as 5 casas restantes.
2 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Ao todo, há 2* P(5) = 2 * 120 = 240 maneiras distintas de colocar as letras da sigla em fila começando por uma vogal.

---

6) (2013 - CESGRANRIO) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas.
De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56

Como João e Maria devem estar juntos, imagine-os como um bloco, {A, B}.
O par {A, B} pode ser permutados de 2 formas distintas: (A, B) e (B, A).

Na fila, há outras 3 pessoas {C, D, E}.
Em conjunto com o bloco {A, B}, há 4 elementos na fila. Então a quantidade de formas diferentes que essas pessoas podem se enfileirar é uma permutação de 4 elementos E uma permutação do bloco.
P(4) * P(2) = (4 * 3 * 2 * 1) * (2 * 1) = 48 maneiras distintas.

---

7) (2015 - FGV) Em uma urna há somente bolas brancas, bolas pretas e bolas vermelhas. Para cada bola branca há três bolas pretas e para cada duas bolas pretas há cinco bolas vermelhas.

A razão entre a quantidade de bolas pretas e a quantidade total de bolas na urna é:
A) 3/10
B) 4/19
C) 5/21
D) 6/23
E) 7/25

B = Bolas Brancas
P = Bolas pretas
V = Bolas vermelhas

Para cada bola branca há três bolas pretas. Se houvesse 10 bolas brancas (B=10), então haveria 30 bolas pretas (P=30).
Como P é maior que B, é necessário multiplicar B por três para manter a igualdade da equação.
3B = P
B = [tex]\frac{1}{3}[/tex]P

Para cada duas bolas pretas há cinco bolas vermelhas.
P = [tex]\frac{2}{5}[/tex]V
V = [tex]\frac{5}{2}[/tex]P

A razão, R, entre a quantidade de bolas pretas e a quantidade total de bolas na urna é

[tex]R=\frac{P}{P+B+V}[/tex]

[tex]R=\frac{P}{P+\frac{1}{3}P+\frac{5}{2}P}[/tex]

[tex]R=\frac{P}{P+\frac{2}{6}P+\frac{15}{6}P}[/tex]

[tex]R=\frac{P}{P+\frac{17}{6}P}[/tex]

[tex]R=\frac{P}{\frac{23}{6}P}[/tex]

[tex]R=\frac{6}{23}[/tex]

---

8) (2016 - MSCONCURSOS) Dona Amélia comprou 5 ovos de páscoa para compor a cesta de páscoa da família. Considerando que ela teve 9 opções de sabores para escolher, é correto afirmar que o número de maneiras possíveis para Dona Olga ter comprado esses ovos de páscoa é igual a
A) 126.
B) 495.
C) 715.
D) 1287.
A ordem em que os ovos são colocados na cesta não importa, então trata-se de uma combinação com repetição de 5 entre 9 elementos.

[tex]C_{rep}(m,p) = C(m+p-1,p)[/tex]

[tex]C_{rep}(9,5) = C(13,5)[/tex]

[tex]C(13,5)=\frac{13!}{5!(13-5)!}[/tex]

[tex]C(13,5)=\frac{13!}{5!8!}[/tex]

[tex]C(13,5)=\frac{13*12*11*10*9}{5*4*3*2}[/tex]

[tex]C(13,5)=13*3*11*3[/tex]

[tex]C(13,5)=1287[/tex]

Explicação sobre a fórmula

Se não ficou claro para você o motivo por que [tex]C_{rep}(m,p) = C(m+p-1,p)[/tex], segue uma analogia.
Imagine que há 9 caixas com ovos de páscoa, cada caixa com um sabor diferente.
As caixas estão alinhadas e divididas por 8 divisórias. Na imagem as divisórias estão em vermelho:


Uma possível combinação de 5 ovos poderia ser presentada pela imagem:

É importante notar que qualquer combinação depende somente onde os ovos estão localizados com relação às divisórias.
Se essa combinação for representada por x e D em que "x" é um ovo e "D" uma divisória, ficaria assim:
{x,x,x,D,D,x,D,x,D,D,D,D,D}

Uma segunda combinação

Seria {D,D,D,x,D,x,D,x,D,x,x,D,D}.

De quantas formas você pode alocar os cinco ovos entre as 9 caixas? Como o que importa é apenas a ordem dos ovos e das divisórias. Segue que é uma permutação de 13 elementos, com 5 "x" repetidos e 8 "D" repetidos.
[tex]P_{rep}(13)=\frac{13!}{5!8!}=C(13,5)[/tex]

---

9) (2015 - FGV) No primeiro turno do campeonato piauiense de futebol 6 times participam, mas somente 4 chegam às semifinais.
O número de possibilidades diferentes para o conjunto dos 4 times que estarão nas semifinais é:
A) 10;
B) 12;
C) 15;
D) 18;
E) 30.

As chaves (ordem) não importam, então trata-se de uma combinação de 4 elementos entre 6. [tex]C(6,4)=\frac{6!}{4!(6-4)!}[/tex]

[tex]C(6,4)=\frac{6!}{4!2!}[/tex]

[tex]C(6,4)=\frac{6*5}{2}[/tex]

[tex]C(6,4)=3*5[/tex]

[tex]C(6,4)=15[/tex]

---

10) (2010 - Cespe) Em uma sala de aula foram escolhidos 5 alunos para se formar uma comissão de 2 elementos. Acerca dessa comissão, julgue o item que se segue.
Se os alunos da comissão tiverem funções idênticas, então a quantidade máxima de comissões distintas que podem ser formadas é igual a 10.

Como as funções são idênticas, não importa a ordem dos alunos dentro da comissão. Isto é, o conjunto {João, Maria} é igual ao conjunto {Maria, João}. Como a ordem não importa, deve-se usar a fórmula da combinação de 2 elementos entre 5. [tex]C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}[/tex]

[tex]C(5,2)=\frac{5!}{2!3!}[/tex]

[tex]C(5,2)=\frac{5*4}{2}[/tex]

[tex]C(5,2)=5*2[/tex]

[tex]C(5,2)=10[/tex]

Correta a questão.

---

11) (2015 - FGV) Sete pessoas formam uma fila e duas delas serão escolhidas para receber um brinde. O número de maneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que não sejam vizinhas é;
A) 15;
B) 18;
C) 20;
D) 24;
E) 30.

A quantidade de maneiras diferentes de se escolher 2 pessoas entre 7 pode ser calculada por meio da fórmula da combinação, pois a ordem das pessoas não importa. [tex]C(7,2)=\frac{7!}{2!(7-2)!}[/tex]

[tex]C(7,2)=\frac{7!}{2!5!}[/tex]

[tex]C(7,2)=\frac{7*6}{2}[/tex]

[tex]C(7,2)=7*3[/tex]

[tex]C(7,2)=21[/tex]

O enunciado proíbe que as duas pessoas selecionadas sejam vizinhas. Como há 7 pessoas na fila, há 6 pares de vizinhos. Você pode pensar que as pessoas estão de mãos dadas e contar quantas mão estão unidas. Se tivesse duas pessoas, seriam 2 mãos. Se tivesse três pessoas na fila, seriam 2 mãos. O número de mãos é inferior em uma unidade ao número de pessoas na fila.

Há 21 pares diferentes ao todo.
Há 6 pares vizinhos.
Então, há 15 pares que cumprem a condição do enunciado.

---

12) (2012 - CESGRANRIO) No estojo de Pedro, há nove canetas idênticas, exceto pelas cores: três são azuis, quatro são vermelhas e duas são pretas. O professor de matemática de Pedro o desafiou perguntando-lhe qual é o menor número de canetas que ele deve retirar, aleatoriamente, de seu estojo para garantir que, dentre as canetas retiradas, haja, pelo menos, uma caneta de cada cor
Que número é esse?

A) 3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Para responder à questão, deve-se considerar a pior hipótese possível, ou seja, a hipótese em que Pedro retira o maior número possível de canetas da mesma cor.
Para garantir que ele tenha pelo menos uma caneta de cada cor, Pedro deve retirar 8 canetas.
Se ele retirar 7 canetas aleatoriamente, ele pode ter o azar de retirar as quatro canetas vermelhas e as três canetas azuis. Nessa pior cenário possível, Pedro não tem uma caneta de cada cor, porque não tem canetas pretas. A próxima retirada vai garantir que tenha uma preta. Por isso, a resposta é a letra D.

---

13) (2014 - UFBA) O centro de uma cidade é uma região plana, cortada por 5 ruas no sentido leste-oeste e 7 ruas no sentido norte-sul, como na ilustração, na qual o tracejado representa um trecho em obras fechado para o tráfego. Se um táxi parte da extremidade noroeste dessa região, seguindo essas ruas, sempre nos sentidos leste ou sul, há exatamente 140 caminhos distintos que ele pode usar para chegar à extremidade sudeste.


Há 5 ruas horizontais e 7 ruas verticais.

Para chegar do noroeste ao sudeste são necessários 10 passos, 4 na direção Sul e 6 na direção Leste em qualquer ordem. Se os passos puderem ser representados pela sequência (S, S, S, S, L, L, L, L, L, L), então fica claro que a resposta, sem levar em contar a restrição, seria uma permutação com repetição entre esses 12 elementos.

Exemplo de percursos que atendem ao trajeto:
(S, L, L, S, S, L, L, S, L, L)
(L, S, S, L, L, L, S, L, L, S)

Como há duas ruas bloqueadas. Todas as sequências que começam por (L, L, ...) não são válidas.

É necessário calcular dois grupos de permutação com repetição.
1) Os que começam por um passo ao Sul, pois a partir de então não há como voltar às ruas bloqueadas, visto que o táxi só viaja nas direções sul ou leste.
2) Os que começam por m passo ao Leste seguindo por um passo ao Sul.

Isto é:
1) (S, ... ) Sobram 9 elementos, sendo três letras S e seis letras L.
2) (L, S, ...) Sobram 8 elementos, sendo três letras S e cinco letras L.

As fórmulas são respectivamente:
1) [tex]\frac{P(9)}{P(3)*P(6)}=\frac{9!}{3!*6!}=84[/tex] rotas começando pelo Sul.

2) [tex]\frac{P(8)}{P(3)*P(5)}=\frac{8!}{3!*5!}=56[/tex] rotas começando pelo Leste e seguindo ao Sul.


Ao todo 84 + 56 = 140.

Nesse vídeo há uma forma alternativa de calcular o número de rotas.
https://youtu.be/9QduzzW10uA
Tem legenda em português.

---

002.01 Conectivos Lógicos - Exercícios

1) (2016 - Cespe) Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.
A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual a
A) 32.
B) 2.
C) 4.
D) 8.
E) 16.

A tabela verdade lista todas as associações de valores lógicos que cada uma das proposições pode assumir.
No caso de duas proposições por exemplo, existem quatro casos possíveis:
1)A primeira proposição é verdadeira e a segunda é veradeira;
2)A primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa;
3)A primeira proposição é falsa e a segunda é veradeira;
4)A primeira proposição é falsa e a segunda é falsa;
A introdução de uma nova proposição faz com que o número de linhas (excluíndo o cabeçalho) da tabela duplique.
A relação matemática entre o número de proposições X e número de linhas Y se dá por:
[tex]Y=2^{x}[/tex]

A proposição P1 do enunciado é composta por três proposições simples:
P - Há investigação;
Q - O suspeito é flagrado comentendo delito;
R - Há punição de criminosos.

Como há três proposições simples, então basta substituir X por 3 na fórmula anterior para calcular o número de linhas da tabela verdade.
[tex]Y=2^{x}[/tex]
[tex]Y=2^{3}[/tex]
[tex]Y=8[/tex]

Exemplo de tabelas verdade. Veja como o número de linhas vai duplicando na medida que são introduzidas novas proposições simples.

---

2) (2016 - Cespe) Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente.

Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante” representa uma proposição composta.

Uma proposição simples é uma sentença declarativa que pode ser avaliada ora como verdadeira, ora como falsa.
Uma proposição composta é a reunião de duas ou mais proposições simples unidas por conectivos lógicos.
O ideal é o candidato conseguir identificar as proposições simples que compõem o enunciado.

P = "Antônio fuma 10 cigarros por dia"
P é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa.

Q = "A probabilidade de Antônio sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro"
Q é outra sentença declarativa.

R = "Pedro é não fumante"
É a terceira proposição simples.

Basta isso para responder a questão como certa.

Professor, como traduzir o enunciado para a simbologia lógica? Quais são os conectivos usados?
Na hora de traduzir, eu sempre buscar captar o significado e implicações da frase. Eu traduziria a frase do enunciado para a simbologia lógica da seguinte maneira:

(P^R)→Q

Leia-se "SE Antônio fuma 10 cigarros por dia E Pedro é não fumante, ENTÂO a probabilidade de Antônio sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro".

---

3) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos.
A sentença “Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p ∧ q.

Uma proposição simples é uma sentença declarativa que pode ser avaliada como verdadeira ou como falsa.
Não é possível atribuir um valor lógico para frases no imperativo tais como "Bruna, acesse a interenet!" ou ainda "Bruna, verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!". Portanto, a sentença do enunciado não é uma proposição.
Também não são proposição
Frases interrogativas: "Que ganhou o jogo?"
Frases opinativas: "Eu considero que Getúlio Vargas como um bom presidente."
Frases exclamativas: "Opa, cuidado!"
Sentenças abertas: "x = tudo" (é necessário definir o que é x para poder avaliar a sentença)

---

4) (2016 - FCC) Um exame é constituído de cinco perguntas, sendo que cada uma deve ser respondida com verdadeiro (V) ou falso (F). A tabela abaixo mostra as respostas assinaladas por quatro alunos.

Sabendo-se que um dos quatro alunos acertou todas as respostas, outro acertou somente duas das respostas, e outro errou todas as respostas, o número de respostas certas do aluno restante foi
A) 3.
B) 4.
C) 1.
D) 2.
E) 5.

O primeiro passo aqui é reconhecer que o caderno de resposta de dois alunos não terá nenhuma resposta igual, porque um dos alunos acertou todas as questões e outro errou todas as questões.
Analisando os cadernos de resposta observa-se que João e Pedro não concordoram em nenhuma questão. Logo, um deles gabaritou e o outro tirou zero.

O segundo passo é testar ambas as hipóteses. Se João tivesse gabaritado o caderno, então ambos Luís e Mário teriam acertado 3 questões.

Essa hipótese contrdiz o enunciado que nos informa que um dos colegas acertou exatamente duas questões. Logo, discarta-se a hipótese de que João tenha gabaritado a prova.

Caso Pedro tenha gabaritado a prova, segue que Luís e Mário acertaram exatamente duas questões.

---

5) (2013 - FGV) Um contra‐exemplo para uma determinada afirmativa é um exemplo que a contradiz, isto é, um exemplo que torna a afirmativa falsa.
No caso de afirmativas do tipo “SE antecedente ENTÃO consequente", um contra‐exemplo torna o antecedente verdadeiro e o consequente falso.
Um contra‐exemplo para a afirmativa “SE x é múltiplo de 7
ENTÃO x é um número ímpar" é:
A) x = 7
B) x = 8
C) x = 11
D) x = 14
E) x = 21

Temos que "x é múltiplo de 7" é o antecedente e "x é um número ímpar" é o consequente.
Um contra-exemplo para a afirmativa torna o antecedente verdadeiro E o consequente falso. Isto é, "x é múltiplo de 7" E "x NÃO é um número ímpar".
Basta encontrar um múltiplo de 7 par nas alternativas, sejam 0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, ....
A letra D responde à questão.

---

6) (2011 - CESPE) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.
O princípio da não contradição diz que nenhuma proposição pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo.

O princípio do terceiro excluído complementa a ideia anterior e define que a proposição ora assume valor verdadeiro, ora assume valor falso, excluindo quaisquer outras possibilidades.

Portanto, apenas um valor lógico (ora verdadeiro, ora falso) pode ser atribuído a uma proposição.

---

7) (2013 - IBFC) Sejam as afirmações:

I. Se o valor lógico de uma proposição p é falso e o valor lógico de uma proposição q é verdadeiro, então o valor lógico da conjunção entre p e q é verdadeiro.
II. Se todo X é Y, então todo Y é X.
III. Se uma proposição p implica numa proposição q, então a proposição q implica na proposição p.

Pode-se afirmar que são verdadeiras:
a) Todas
b) Somente duas delas
c) Somente uma delas
d) Nenhuma

I. É falsa, a conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras. Como o valor lógico de p é falso, segue que (p ^ q) é falso.
II. É falsa. "Todo X é Y" equivale a construção da condicional "Se é X, então é Y". A partir dessa informação, não se pode afirmar que "Se é Y, então é X", pois é uma conclusão falaciosa conhecida como afirmação do consequente.
III. É falsa. Novamente, uma falácia de afirmação do consequente.
Nenhuma das afirmações é verdadeira.

---

8) (2012 - IF-CE) Considere os conectivos * e # com a seguinte interpretação:

p * q é verdadeira, somente quando p e q têm o mesmo valor lógico.
p # q é falsa, somente quando p é falsa e q é verdadeira.

Nessas condições, dentre todas as escolhas de valor lógico para as proposições simples A, B e C, a fórmula A # (B * C) é falsa

A) nenhuma vez.
B) duas vezes.
C) três vezes.
D) cinco vezes.
E) todas as vezes.

Para A # (B * C) ser falso é necessário que:
A seja falso
(B * C) seja verdadeiro

Para (B * C) ser verdadeiro é necessário que B e C tenho o mesmo valor lógico. Ou seja, há dois casos.
(B, C) = (V, V)
(B, C) = (F, F)

Logo, só há dois casos em que A # (B * C) é verdadeiro:
(A, B, C) = (F, V, V)
(A, B, C) = (F, F, F)


Relembrando as regras do enunciado, é possível resolver por meio da tabela verdade.
B*C é verdadeira, somente quando B e C têm o mesmo valor lógico (letras azuis).
A#(B¨*C) é falsa, somente quando A é falsa e (B*C) é verdadeira (fundo verde claro).

Tabela Verdade:

A	B	C	B*C	A#(B*C)
V	V	V	V	V
V	V	F	F	V
V	F	V	F	V
V	F	F	V	V
F	V	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	V	F

20 questões comentadas avulsas 06 (para organizar mais tarde)

Completarei 30 em breve. Mais virão.
...
6) 7) (2016 - FUNRIO)Realizou-se uma pesquisa com 200 hipertensos para identificar a ocorrência dos seguintes fatores de risco dessa doença: sedentarismo, obesidade e histórico familiar. Desses hipertensos, cinquenta são obesos, setenta são sedentários, oitenta possuem histórico de doença na família e cinquenta não apresentam nenhum desses três fatores de risco. Assim sendo, a maior quantidade de hipertensos desse grupo que possui exatamente dois desses fatores de risco é:
A) 20.
B) 25.
C) 30.
D) 40.
E) 50.

---

8) (2016 - FUNRIO) A seguinte Tabela apresenta resultados de uma pesquisa sobre a quantidade de filhos de 600 casais de uma determinada cidade.

Número de Filhos	Quantidade de Famílias
0	300
1	200
2	50
3	X
4	Y

Sabendo-se que a quantidade média de filhos por casal da pesquisa é 0,76, a quantidade de casais da pesquisa que possuem 4 filhos é
A) 3.
B) 6.
C) 10.
D) 12.
E) 15.

O enunciado diz que 600 famílias foram pesquisadas.
300+200+50+X+Y = 600
X + Y + 550 = 600
X + Y = 50

A quantidade total de filhos = (0*300) + (1*200) + (2*50) + (3*X) + (4*Y)
A quantidade total de filhos = 0 + 200 + 100 + 3X + 4Y
A quantidade total de filhos = 300 + 3X + 4Y

A média de filhos por família é 0,76.
Média = número de filhos / número de famílias
0,76 = (300 + 3X + 4Y) / 600
456 = 300 + 3X + 4Y
3X + 4Y = 156

Ficamos com um sistema de equações:
[tex]\left\{\begin{matrix} 3X+4Y=156\\X+Y=50 \end{matrix}\right.[/tex]

Multiplica a primeira equação por 3.
[tex]\left\{\begin{matrix} 3X+4Y=156 & \\ 3X+3Y=150 & \text{mulplicada por 3} \end{matrix}\right.[/tex]

Subtrai a primeira equação pela segunda para obter Y = 6.

---

9)(2016 - MSCONCURSOS) O número de subconjuntos próprios de A = {x ∈ Z ; 12 < x < 17} é:
A) 14
B) 16
C) 32
D) 64
B é um subconjunto próprio de A se B ⊆ A (leia-se o conjunto B está contido no conjunto A) e se B≠A. Alguns livros usam a anotação B ⊂ A.
O conjunto A = {13, 14, 15, 16} possui 4 elementos.
Como há 4 elementos, há [tex]2^{4}[/tex] subconjuntos (impróprios). Os subconjuntos de A são:
{{∅}, {13}, {14}, {15}, {16}, {13, 14}, {13, 15}, {13, 16}, {14, 15}, {14, 16}, {15, 16}, {13, 14, 15}, {13, 14, 16}, {13, 15, 16}, {14, 15, 16}, {13, 14, 15, 16^}}
Os subconjuntos {13, 14, 15, 16} é igual a A e portanto não é um subconjunto próprio.
O examinador considerou que {∅} também não é um subconjunto próprio de A, mas isso é debatível.
A letra A é que melhor responde à questão.

---

10) (2015 - COPEVE-UFAL) Se a numeração dos imóveis das ruas somente admitisse números primos, obedecendo rigorosamente a ordem crescente dos números e sem pular nenhum número,
A) em todas as ruas com mais de 6 casas, haveria o imóvel de número 41.
B) em ruas com mais de 500 casas, haveria um imóvel de número 143.
C) em avenidas com mais de 100 imóveis, haveria imóveis de números 43, 83 e 101.
D) e se todas as ruas possuem pelo menos um imóvel, haveria sempre um imóvel de número 1, pois 1 é primo.
E) assim como hoje, existiriam imóveis numerados com números ímpares e números pares, na mesma proporção.

A) Uma rua com 7 casas é uma rua com mais de 6 casas. Os sete primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, e 17.
Portanto. é possível existir uma rua com mais de 6 casa em que não haveria imóvel de número 41.

B) O número 143 é composto (não é primo). 143 = 11 * 13.

C) Certo. Todos os 3 números apresentados são primos. Não precisa saber qual é o centésimo número primo, basta notar que 101 é bem aquém de ser o centésimo. É o 26º número primo.

D) O número 1 não é primo.

E) O único número primo par é o 2. A menos que a rua conte com apenas dois imóveis, a proporção favoreceria os números ímpares.

---

11) (2016 - MsConcursos) Observe o diagrama lógico seguinte, formado por duas camadas de células retangulares, sequenciais, cujos valores internos são constituídos seguindo determinado padrão lógico.

O valor de x no diagrama acima é:
A) 345
B) 343
C) 339
D) 337

A sequência de cima é formada por um acréscimo de 2 a cada termo. Vou chamá-la de A.
A sequência de baixo é formada por um acréscimo de 4 a cada termo. Vou chamá-la de B.

Os termos sequências podem ser descritos pela seguinte regra em que n é a posição do termo da sequência.
[tex]A_{n}=2n-1[/tex]
[tex]B_{n}=4n-1[/tex]

Assim temos
[tex]A_{1}=2(1)-1=2-1=1[/tex]
[tex]A_{2}=2(2)-1=4-1=3[/tex]
[tex]A_{3}=2(3)-1=6-1=5[/tex]
[tex]A_{4}=2(4)-1=8-1=7[/tex]
...
e
[tex]B_{1}=4(1)-1=4-1=3[/tex]
[tex]B_{2}=4(2)-1=8-1=7[/tex]
[tex]B_{3}=4(3)-1=12-1=11[/tex]
[tex]B_{4}=4(4)-1=16-1=15[/tex]
...

A posição do termo 171 na sequência A é
[tex]A_{n}=2n-1[/tex]
[tex]171=2n-1[/tex]
[tex]172=2n[/tex]
[tex]n=86[/tex]º termo

O 86º termo na sequência B será
[tex]B_{n}=4n-1[/tex]
[tex]B_{86}=4(86)-1[/tex]
[tex]B_{86}=344-1[/tex]
[tex]B_{86}=343[/tex]

---

12) Um dado é lançado 6 vezes. É correto afirmar que a probabilidade de ocorrer exatamente um par de 3, ou exatamente um par 4 ou ainda exatamente um 3 e um 4 é 80/243.

A questão considerou válida quaisquer combinações que contivessem exatamente um par de "3", ou exatamente um par de "4" ou ainda um "3" e um "4".
Exemplo de combinações válidas:
{3, 5, 1, 2, 3, 6}
{1, 1, 5, 4, 4, 2}
{2, 5, 6, 3, 5, 4}

Então a probabilidade de sair o 3 ou o 4 em um determinado lançamento é 1/3. Vou chamar essa probabilidade de P(A) = 1/3.
A probabilidade de sair qualquer outro número é igual a 2/3. Vou chamar essa probabilidade de P(N) = 2/3.
Como ele mediu a probabilidade de sair exatamente um par de "3" ou "4" ou 1 de ambos, então ele calculou a probabilidade de sair o conjunto:
{A, A, N, N, N, N}
A probabilidade de sair A e A é igual a P(A) * P(A) = (1/3)2 = 1/9
A probabilidade de sair N e N e N e N é igual a P(N)4 = (2/3)4 = 16/81

Agora observe que o par de A pode aparecer em diversas posições, tais como:
{A, N, A, N, N, N}
{N, N, A, N, A, N}
{N, N, N, A, N, A} etc.
Ou seja, há 6 posições em que os 2 A podem estar. Isso é calculável por meio da fórmula das combinações C(6,2) = 6! / 4!2! = 15

Ao todo temos:
P(total) = C(6,2) * P(A)2 * P(N)4
P(total) = 10 * 1/9 * 16/81
P(total) = 240 / 729
P(total) = 80 / 243
Certa a questão.

---

13)(2013 - CESGRANRIO) Se os algarismos de 1 a 9 forem colocados, sem repetição, nos quadrados da Figura a seguir, de modo que a soma dos algarismos dispostos na horizontal seja 30 e a soma dos algarismos dispostos na vertical seja 22, qual é o algarismo que ocupará o lugar do X?

A)3
B)4
C)5
D)6
E)7

Para somar os dígitos de 1 a 9, pode-se somar as duas linhas abaixo em ordem inversa:
Linha A: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Linha B: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
A + B = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
A + B = 9 * 10
A + B = 90
A soma de 1 a 9 é igual a metade do resultado, já que a sequência foi somada duas vezes.
Lina A = 45.

Na horizontal deve constar 30 e na vertical 22. Somando ambos:
30 + 22 = 52.

Veja que o número X se repete, pois faz parte da horizontal e da vertical. A dupla contagem desse número é que faz a diferença entre a soma dos dígitos (45) e a soma das linhas horizontal e vertical (52):
52 - 45 = 7

---

14) Utilizou-se 1311 dígitos para numerar as páginas de um livro a partir do número 1.
O número total de páginas do livro é
A) 189.
B) 433.
C) 473.
D) 533.

Para as páginas de 1 a 9 usam-se 9 dígitos.
Para as páginas entre 10 e 99 usam-se 2 dígitos por página, como há 90 páginas, ao todo são 180 dígitos.
A partir da página 100 usa-se 3 dígitos por página.
1311 - 189 = 1122 dígitos restantes
1122 / 3 = 374 páginas de três dígitos, incluindo a página número 100.
Ao todo, o livro tem 99 + 374 = 473 páginas.

---

15) Em um arquivo há 750 fichas com dados de alunos de uma escola. Um terço das fichas são de crianças com até 7 anos de idade; metade das fichas de crianças com idade acima de 7 anos até 10 anos. O número de fichas de crianças com mais de 10 anos de idade é
A) 375.
B) 250.
C) 150.
D) 125.

Um terço de 750 é igual a 250 fichas de crianças com até 7 anos de idade.
A metade de 750 é 375 fichas que pertencem à crianças com idade acima de 7 e menor ou igual a 10.
750 - 250 - 375 = 125 restantes que comtêm dados das crianças acima de 10 anos.

---

16) Uma pessoa utilizou 2/9 de seu salário líquido para comprar um aparelho de TV, e 3/7 do restante foram utilizados em pagamentos de contas, sobrando ainda R$ 1.600,00. O preço pago no aparelho de TV foi
A) R$ 750,00.
B) R$ 800,00.
C) R$ 830,00.
D) R$ 880,00.
E) R$ 900,00

Salário igual a x.
Após utilizar 2/9 de x sobraram 7/9 de x, vamos chamar esse valor restante de y.
Após utilizar 3/7 de y sobraram 4/7 de y que equivale a 1600 reais.

(4/7)y = 1600
y = (7/4)1600
y = (7)400
y = 2800

(7/9)x = y
(7/9)x = 2800
x = (9/7)2800
x = (9)400
x = 3600.

O aparelho de TV custou 2/9 de x, isto é, R$ 800,00.

---

17) (2008 - FCC) Na representação de um número no sistema decimal de numeração são usados os algarismos de 0 a 9, de forma que cada dígito do número é o produto de seu valor nominal e a apropriada potência de 10, relativamente à posição do dígito no número. Assim, por exemplo,
[tex]7028=7*10^{3}+0*10^{2}+2*10^{1}+8*10^{0}[/tex]
Considerando que na Matematicolândia – país em que todos amam a Matemática – é usado somente um sistema numérico de base k, sabe-se que Esli, um de seus habitantes, comprou em certa loja um artigo por 240 u.m. (unidades monetárias) e usou uma cédula de 401 u.m. para pagá-lo. Se, após essa transação, Esli recebeu 111 u.m. de troco, o preço de tal artigo equivale, no Brasil, a
A) R$ 60,00
B) R$ 64,00
C) R$ 70,00
D) R$ 82,00
E) R$ 86,00

401 em base k equivale a [tex]4*k^{2}+0*k^{1}+1*k^{0}=\mathbf{4k^{2}+1}[/tex];
240 em base k equivale a [tex]2*k^{2}+4*k^{1}+0*k^{0}=\mathbf{2k^{2}+4k}[/tex] e
111 em base k equivale a [tex]1*k^{2}+1*k^{1}+1*k^{0}=\mathbf{k^{2}+k+1}[/tex].

Então,
[tex]401_{k} - 240_{k} = 111_{k}[/tex]

[tex]4k^{2}+1-(2k^{2}+4k)=k^{2}+k+1[/tex]

[tex]4k^{2}+1-2k^{2}-4k=k^{2}+k+1[/tex]

[tex]4k^{2}-2k^{2}-k^{2}-4k-k+1-1=0[/tex]

[tex]k^{2}-5k=0[/tex]

[tex]k(k-5)=0[/tex]

[tex]k=5[/tex]

Portanto, o preço do artigo no Brasil é:
[tex]240_{k}=2k^{2}+4k[/tex]

[tex]240_{5}=2(5)^{2}+4(5)[/tex]

[tex]240_{5}=2(25)+20[/tex]

[tex]240_{5}=70_{10}[/tex]

O artigo custa 70 reais.

---

18) (2013 - FCC) A soma S é dada por:
[tex]S=\sqrt{2}+\sqrt{8}+2\sqrt{2}+2\sqrt{8}+3\sqrt{2}+3\sqrt{8}+4\sqrt{2}+4\sqrt{8}+5\sqrt{2}+5\sqrt{8}[/tex]

A) [tex]\sqrt{90}[/tex]
B) [tex]\sqrt{405}[/tex]
C) [tex]\sqrt{900}[/tex]
D) [tex]\sqrt{4050}[/tex]
E) [tex]\sqrt{9000}[/tex]

Resposta envolve apenas algebra.
[tex]S=\sqrt{2}+\sqrt{8}+2\sqrt{2}+2\sqrt{8}+3\sqrt{2}+3\sqrt{8}+4\sqrt{2}+4\sqrt{8}+5\sqrt{2}+5\sqrt{8}[/tex]

[tex]S=(1+2+3+4+5)\sqrt{2}+(1+2+3+4+5)\sqrt{8}[/tex]

[tex]S=15\sqrt{2}+15\sqrt{8}[/tex]

[tex]S=15\sqrt{2}+15\sqrt{4*2}[/tex]

[tex]S=15\sqrt{2}+30\sqrt{2}[/tex]

[tex]S=45\sqrt{2}[/tex]

[tex]S=\sqrt{45^{2}*2}[/tex]

[tex]S=\sqrt{45*45*2}[/tex]

[tex]S=\sqrt{90*45}[/tex]

[tex]S=\sqrt{4050}[/tex]

---

19) (2012 - CESGRANRIO)São dados dois números x e y. Sabe-se que, se x ≤ y, então y > 3, e, se y < x, então x < 5. Portanto, se 2 + y = x, tem-se:
A) y < 3
B) y > 7
C) y = 5
D) x > 5
E) x = 5

A equação final, 2 + y = x, nos informa que x > y, pois é necessário acrescentar duas unidades a y para se igualar a x.
Como x > y, segue que x < 5, conforme diz o enunciado.
Como 2 + y = x e como x < 5, conclui-se que 2 + y < 5. Ou seja, y < 3.

---

20) Com duas letras iguais a X e n letras iguais a Y são obtidos 21 anagramas. Qual é o valor de n?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Acredito que a forma mais ligeira seja testar as alternativa uma por uma.
Para fins didáticos, segue uma solução usando a fórmula de permutação com elementos repetidos:

---

21) Gustavo deve distribuir 4 livros diferentes para 8 crianças, de modo que uma ou mais crianças não recebam livro nenhum, podendo ocorrer de uma ou mais crianças receberem mais de um livro. O número de maneiras como ele pode distribuir os livros é igual a
A) 3488
B) 3682
C) 3854
D) 3962
E) 4096

Você tem quatro livros para distribuir entre oito estudantes.
Eu acho que a forma fácil consiste em associar o nome de um estudante a cada um dos livros.
Ou seja, o primeiro livro pode ficar com qualquer um dois oito.
O segundo livro pode ficar com qualquer um dois oito.
O terceiro livro pode ficar com qualquer um dois oito.
E o quarto livro também.
Associando essas 4 possibilidades, chega-se a um arranjo com repetição:
Arep(8,4) = 8 * 8 * 8 * 8
Arep(8,4) = 8^4
Arep(8,4) = 4096.

---

22) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:
A) 5400
B) 165
C) 1650
D) 5830
E) 5600


120 * 45 = 4.500

---

23) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é:
A) Armando
B) Edu
C) Celso
D) Juarez
E) Tarso

Assuma que todos falam a verdade.
Como Celso e Edu acusam outra pessoas, fica claro que um dos dois está mentindo.
Sendo que um dos dois está mentindo, então Tarso está dizendo a verdade.
Celso é o mentiroso.
Logo, Tarso é o criminoso.

---

Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;
Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.

24) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.

Trata-se de uma afirmação do consequente (falácia non sequitur).
Poder-se-ia concluir que ele não é traficante pelo fato dele não estar levando uma grande quantidade de droga e não a ter escondido. Não é possível concluir nada a partir dele não ser traficante.
Premissa 2: T → (G ^ E)
Equivale a: ~(G ^ E) → ~T
Equivale ainda a: (~G v ~E) → ~T
Assertiva 46 diz que: ~T → (~G v ~E) (inverteu a ordem dos acontecimentos)
Falso.

---

25) Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida.

O enunciado poderia ser reescrito assim:
Premissa 1: ~T
Premissa 2: T → (G ^ E)
Premissa 3: (~T ^ ~G) → ~E
Conclusão: G → T
G não é condição suficiente para ser traficante em nenhuma das premissa. A conclusão é inválida, pois não decorre das premissas.
Falso.

---

26) Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 sem repeti-los, podemos escrever "X" números de 4 algarismos, maiores que 3.200. O valor de 'X' é:
A)210
B)228
C)240
D)300
E)320

Você pode escrever A(6,4) números com esses algarismos.
A(6,4) = 6! / (6-4)! = 6*5*4*3 = 360 números distintos.

Porém você não pode escrever números que comecem com os algarismos 1XXX, 2XXX ou 31XX.
1XXX = 1 * A(5,3) = 60 números distintos,
2XXX = 1 * A(5,3) = 60 números distintos,
31XX = 1 * A(4,2) = 12 números distintos.

Ao todo: 360 - 60 - 60 - 12 = 228 números.

---

27) Dois reservatórios A e B têm a forma de um paralelepípedo, com bases quadradas de arestas internas iguais a 2 m e 3 m, respectivamente. Inicialmente o reservatório A tem 3,25 m a mais de altura de coluna de água do que o reservatório B. Para que os dois reservatórios fiquem com a mesma altura de coluna de água, deve ser passado do reservatório A para o reservatório B um volume de água, em litros, igual a
A) 9000.
B) 7750.
C) 6500.
D) 4000.
E) 3250.

Área do piso do reservatório A = 2m * 2m = 4m²
Área do piso do reservatório B = 3m * 3m = 9m².

O volume total de água nos reservatórios não nos interessa.
O que interessa é o volume de água acima da linha vermelha, pois é água desse volume que será transferido de A para B.

Volume de água em A acima da linha vermelha = área da base de A * altura da água acima da linha vermelha
Volume de água = 4 m² * 3,25 m
Volume de água = 13 m³
V(A) = 13 m³

Como inicialmente não há água acima da linha vermelha no reservatório B:
V(B) = 0 m³

Uma parte, X, desses 13 m³ de A deve ser transferida para o reservatório B de modo que os níveis de água fiquem iguais.
Nível de água de A inicial = Volume / área
Nível de água de A final = (Volume - X) / área
N(A) = (13 - X) / 4

Nível de água de B inicial = Volume / área
Nível de água de B final = (Volume + X) / área
N(B) = (0 + X) / 9

N(A) = N(B)
(13 - X)/4 = X / 9
9(13 - X) = 4X
117 - 9X = 4X
13X = 117
X = 9 m³ ou 9.000 L

---

28) (CESGRANRIO) Quantos números naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos?
A)27.216
B)59.760
C)62.784
D)69.760
E)72.784

É mais fácil contar o número de algarismos com dígitos distintos. Os algarismos que não têm todos os dígitos distintos, têm portanto pelo menos 2 dígitos iguais.

Total de números com cinco algarismos:
Entre 0 e 99.999 há 100.000 números.
Entre 0 e 9.999 há 10.000 números.
Então entre 10.000 e 99.999 há 90.000 números.

Total de números com cinco algarismos distintos:
O lance do problema é que a casa da dezena de milhar não pode ser igual a zero.
O número 01.234 não é válido.
No primeiro algarismo temos as opções: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. São nove opções:
9 * _ * _ * _ * _

No segundo algarismos temos as opções de 0 a 9, exceto o dígito que foi usada na primeira casa:
9 * 9 * _ * _ * _

No terceiro algarismos temos as opções de 0 a 9, exceto os dígitos que foram usado nas duas primeiras casas:
9 * 9 * 8 * _ * _

Seguindo essa lógico, temos 7 opções para o quarto algarismo e 6 para o último.
9 * 9 * 8 * 7 * 6 = 27.216

Total de números com pelo menos dois algarismos repetidos = 90.000 - 27.216 = 62.784.

---

29) Quantos anagramas de 5 letras distintas podem ser formados com as letras T,R,A,N e S se o R não pode preceder o T?
A)24
B)48
C)60
D)84
E)120

Pode-se deduzir pela simetria das permutações que o números de vezes em que o R precede o T é o mesmo número de vezes em que o T precede o R.
Logo, ao todo existem P(5) = 5! = 120 permutações possíveis e na metade delas (60) o R estará à frente do T.

---

30) Considere a seguinte sequência de figuras

Se a 21ª figura é formada por 881 bolinhas, então o número de bolinhas necessárias para formar a 22ª figura é
A) 1060
B) 1013
C) 986
D) 968
E) 925

Note que o número de bolinhas na aresta maior de cada figura é sempre um número ímpar em sequência. A primeira figura possui uma bolinha na areata, a segunda possui três bolinhas na aresta maior, a terceira figura possui cinco bolinhas na aresta maior e assim por diante.
Uma regra geral pode ser criada para calcular o número de bolinhas na aresta maior:
y = 2x - 1, em que y é o número de bolinhas e x é o índice da figura.
Por exemplo, para a quinte figura há:
y = 2(5) - 1
y = 10 - 1
y = 9 bolinhas na aresta maior.

Se as figuras não tivessem um vazio no meio, o número de bolinhas seria igual a fórmula da área de uma quadrado, ou seja, y vezes y.
Note que o espaço vazio de cada figura é preenchido pela figura anterior.
Tome por exemplo as figuras 3 e 4. Obtém-se a figura a seguir quando se insere a 3ª sequência na 4ª:

O número de bolas nessa figura é igual 49, que seria a área da figura 4 caso não houvesse espaço vazio.
O mesmo se aplica a 22ª figura.
Primeiro, é necessário encontrar o número de bolas na aresta da figura 22 para calcular a área.
y = 2x - 1
y = 2(22) - 1
y = 44 - 1
y = 43

A área da figura 22, sem levar em consideração o espaço vazio, é igual a 43*43 = 1849.
O espaço vazio será igual à figura anterior, que o enunciado informa ter 881 bolinhas.
Logo, a figura 22 tem 1849 - 881 = 968 bolinhas e a letra D responde à questão.

Geometria Espacial - Exercícios Comentados

CARO ESTUDANTE,
ESSA PÁGINA ESTÁ EM CONSTRUÇÃO. SE TIVER DÚVIDAS OU ENCONTRAR ALGUM ERRO, DEIXE UM COMENTÁRIO.
OBRIGADO. :)

---

1) (2015 - UNA) Uma taça será fabricada em formato de um cone e terá 16cm de diâmetro e altura correspondente ao triplo do raio. Qual será a capacidade desta taça? (Utilize π = 3,14).
A) 1.607,68cm³
B) 1.903cm³
C) 2.340,87cm³
D) 1.250,92cm³

O raio corresponde à metade do diâmetro de um círculo. Então, o raio terá 8cm.
A altura do cone corresponde ao triplo do raio, ou seja, 24 cm.
O volume de um cone é dado pela fórmula:

[tex]V_{Cone} = \frac{\textrm{Área do círculo} * \textrm{Altura}}{3}[/tex]

[tex]V_{Cone} = \frac{(r^{2}\pi) * 24}{3}[/tex]

[tex]V_{Cone} = 8^{3}*\pi [/tex]

[tex]V_{Cone} = 512 * 3,14[/tex]

[tex]V_{Cone} = 1607,68[/tex]

Letra A.

---

2) (2014 - FAFIPA) Um retângulo possui 20 cm de comprimento e 6 cm de altura. Qual é o seu perímetro?
A) 52 cm
B) 54 cm
C) 86 cm
D) 120 cm

Perímetro do retângulo = 2 * (comprimento + altura)
Perímetro do retângulo = 2 * (20 + 6)
Perímetro do retângulo = 2 * (26)
Perímetro do retângulo = 52

---

3) (2014 - IDECAN) A seguir estão representados um triângulo equilátero e um quadrado, cujos perímetros são iguais.

Se a diferença entre os lados dessas 2 figuras é igual a 3 cm, então, o perímetro de cada uma delas mede
A) 24 cm.
B) 28 cm.
C) 32 cm.
D) 36 cm.
E) 40 cm.

O perímetro do triângulo = 3 * LadoT
O perímetro do quadrado = 4 * LadoQ

O enunciado informa que a diferença entre os lados dessas figures é igual a 3 centímetro. Como o triângulo tem lados mais compridos, segue que:
LadoT = LadoQ + 3

Perímetro do quadrado = Perímetro do triângulo
4 * LadoQ = 3 * LadoT
4 * LadoQ = 3 * (LadoQ + 3)
4 * Lado Q = 3 * LadoQ + 9
(4 * Lado Q) - (3 * LadoQ) = 9
LadoQ = 9
LadoT = 12

Perímetro do Quadrado = 4 * 9 = 36 cm
Perímetro do Triângulo = 3 * 12 = 36 cm
Letra D.

---

4) (2013 - CESPE) Considerando que as retas [tex]R_{1}[/tex], [tex]R_{2}[/tex], [tex]R_{3}[/tex] e [tex]R_{4}[/tex] sejam distintas e estejam no mesmo plano, e que, se a reta [tex]R_{i}[/tex] intercepta a reta [tex]R_{j}[/tex], [tex]P_{ij}[/tex] — em que i, j = 0, 1, 2, 3, 4 e i ≠ j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue o item seguinte.

Se os pontos [tex]P_{12}[/tex], [tex]P_{13}[/tex] e [tex]P_{23}[/tex] existirem e forem distintos, então a reta R1 não poderá ser perpendicular à reta R2.

O ponto [tex]P_{12}[/tex] é o ponto em que as retas [tex]R_{1}[/tex] e [tex]R_{2}[/tex] se interceptam.
O ponto [tex]P_{13}[/tex] é o ponto em que as retas [tex]R_{1}[/tex] e [tex]R_{3}[/tex] se interceptam.
O ponto [tex]P_{23}[/tex] é o ponto em que as retas [tex]R_{2}[/tex] e [tex]R_{3}[/tex] se interceptam.

As retas são distintas e estão no mesmo plano, os três pontos também são distintos. Segue que as três retas formam um triângulo. Não há nada que impeça de ser um triângulo retângulo, então a assertiva está errada.

---

5) (2013 - CESPE) No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e P23 também existirão e P34 = P23.

Sim, se a reta [tex]R_{1}[/tex] cruza as retas [tex]R_{2}[/tex], [tex]R_{3}[/tex] e [tex]R_{4}[/tex] no mesmo ponto, segue que as 4 retas passam pelo ponto [tex]P_{12}[/tex]. Portanto, todas as retas se encontram no mesmo ponto e [tex]P_{12}[/tex]=[tex]P_{34}[/tex]=[tex]P_{23}[/tex].

---

6) (2014 - CESGRANRIO) Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e Paulo, dividiram um terreno quadrado de 42 metros de lado em três terrenos retangulares de áreas iguais. A Figura abaixo mostra a divisão e a parte que coube a cada um.

O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é
A) 105.
B) 112.
C) 126.
D) 147.
E) 588.

O terreno tem 42 metros de lado.
O terreno tem 42² metros de área, isto é, 1.764 m².
Cada herdeiro ficou com 1/3 da área ou 588 m².
Os terrenos de Arnaldo e de Paulo possuem o mesmo comprimento e área e, portanto, possuem também a mesma altura.
Altura do terreno de Arnaldo + Altura do terreno de Paulo = 42 metros.
Segue que a altura desses terrenos mede 21 m.
Se a área é de 588m² e a altura é de 21m, o comprimento é igual 588 / 21 = 28 m.
O terreno de Bruno tem 14 metros de comprimento.
O perímetro do terreno de Bruno é igual a 2 * (42 + 14) = 112 m.

---

7) (2012 - CESGRANRIO) Um “elevador”, especificamente construído para tal prédio, se deslocará sobre as arestas, ao receber ordens dos seus passageiros, como: “para cima” e “para baixo” (na orientação indicada na figura), “para direita” e “para a esquerda” (na orientação dos passageiros do elevador que estão voltados de frente para o centro geométrico do cubo). Ao receber uma ordem, o elevador se deslocará sobre a aresta que viabiliza o sentido do movimento ordenado e parará ao alcançar um vértice, aguardando uma nova ordem.

Se o elevador estiver inicialmente sobre o vértice D e receber as ordens “para a direita”, “para cima”, “para a esquerda”, “para a esquerda”, “para baixo”, “para direita”, “para direita” e “para a direita”, ele não passará pelo vértice:
A) A
B) B
C) C
D) F
E) G

Para funcionar, os passageiros devem permanecer voltados de frente para o centro do elevador independentemente do vértice em que se encontram. Partindo do vértice D, o elevador fez a seguinte trajetória.


Se mantivermos o ponto de vista dos passageiros fixo e igual ao inicial, o elevador faria uma trajetória que não passaria pelo vértice H. Ainda bem que não há essa resposta disponível.

---

8) (2015 - UTFPR) Uma pessoa deseja cobrir o piso e as paredes de um banheiro retangular com revestimento cerâmico. As dimensões do banheiro são: 1,70 metros(m) de largura por 2,50m de comprimento por 2,40m de altura. Nesse banheiro, há uma porta de 0,60 m de largura por 2,10m de altura e uma janela de 1,20m de comprimento por 0,60m de altura. Considera-se, inicialmente, uma perda de no máximo 10% de material. Os revestimentos cerâmicos são vendidos em caixas que contém 2,14 metros quadrados (m²). Assinale a alternativa que apresenta o número de caixas desses revestimentos que deverão ser compradas para cobrir o piso e as paredes desse banheiro.

Observação: os revestimentos que sobrarem serão guardados, para eventuais futuras reposições, no piso ou nas paredes.
A) 2 ou 3 caixas para o piso e 9 ou 10 caixas para as paredes.
B) 3 ou 4 caixas para o piso e 11 caixas para as paredes.
C) 2 caixas para o piso e 11 ou 12 caixas para as paredes.
D) 3 ou 4 caixas para o piso e 12 caixas para as paredes.
E) 2 ou 3 caixas para o piso e 8 caixas para as paredes.

O banheiro é composto por duas duplas de paredes distintas e um piso que devem ser revestidos.
Área da parede A = largura * altura = 1,7 * 2,4 = 4,08 m²
Área da parede B = comprimento * altura = 2,5 * 2,4 = 6 m²
Área da piso = largura * comprimento = 1,7 * 2,5 = 4,25 m²
Área da porta = 0,6 * 2,1 = 1,26 m²
Área da janela = 1,2 * 0,6 = 0,72 m²

Área das paredes = 4,08 + 4,08 + 6 + 6 = 20,16 m²
Área da porta e janela = 1,26 + 0,72 = 1,98 m²
Área das paredes que deve ser revestida = 20,16 - 1,98 = 18,18 m²

Com 10% de perda do material, cada caixa cobre em média uma área de 1,926 m²

Número de caixas para preencher as paredes = 18,18 / 1,926 = 9,42 caixas
número de caixas para o piso = 4,25 / 1,926 = 2,2 caixas

É necessário arredondar para cima. Será necessárias 12 caixas para preencher todo o espaço, sendo que pode-se usar 10 caixas para as paredes e o que restar da décima será usado em complemento com as 2 caixas destinadas ao piso. Pode-se também usar 3 caixas para o piso, e o restante da terceira caixa é usado em complemento com 9 caixas destinadas às paredes.
Letra A.

---

9) (2011 - FDC) A medida da diagonal de uma caixa cúbica é igual a [tex]4\sqrt{3}[/tex] m. O volume, em m³, ocupado por essa caixa é igual a:
A) 64
B) 32
C) 24
D) 16
E) 12


Na imagem temos um cubo, a diagonal do cubo em vermelho, a diagonal do quadrado em azul e uma aresta em verde.
A medida da diagonal azul é igual a [tex]\sqrt{lado^{2} + lado^{2}}[/tex] pelo teorema de pitágoras. Vou chamar essa medida de X.
A medida da diagonal vermelha é igual a [tex]\sqrt{x^{2} + lado^{2}}[/tex] pelo teorema de pitágoras.
Ou seja, [tex]\sqrt{x^{2} + lado^{2}} = 4\sqrt{3}[/tex]
[tex]x^{2} + lado^{2} = (4\sqrt{3})^{2}[/tex]
[tex]x^{2} + lado^{2} = 16 * 3[/tex]
[tex]x^{2} + lado^{2} = 48[/tex]
[tex](\sqrt{lado^{2} + lado^{2}})^{2} + lado^{2} = 48[/tex]
[tex]lado^{2} + lado^{2} + lado^{2} = 48[/tex]
[tex]3*lado^{2} = 48[/tex]
[tex]lado^{2} = 16[/tex]
[tex]lado = 4[/tex]

[tex]Volume = lado^{3} = 64[/tex]

---

10) (2012 - CEC) Num recipiente em forma de cilindro circular reto, com raio de base 2cm e altura 6√3 cm (dimensões internas), há volume de água de 16π√3 cm³ (figura 1). Qual deve ser o maior ângulo α (figura 2) que o plano da base do cilindro deve fazer com o plano de apoio para que a água não se derrame ao se inclinar o cilindro?

A) 60º
B) 40º
C) 45º
D) 90º
E) 30º

Volume do cilindro = área da base vezes altura
Área da base (círculo) = r²π = 2²π = 4π
Volume cilindro = 4π * 6√3 = 24π√3 cm³

A água preenche 16π√3 cm³ do cilindro ou 2/3 da capacidade.
O cilindro está 1/3 vazio para os pessimistas, o que significa dizer 8π√3 cm³ vazio.

Na parte interna do cilindro em perspectiva ortográfica, haverá 3 figuras que se parecem com dois triângulos idênticos, [tex]Q_{1}[/tex] e [tex]Q_{2}[/tex], e um retângulo, P.


Apesar de não serem propriamente triângulos ou retângulo, isso não interessa, pois podemos calcular o volume das figuras do mesmo jeito. Afinal, já sabemos que o espaço vazio [tex]Q_{2}[/tex] representa 1/3 do volume do cilindro, ou seja, 8π√3 cm³.
Por semelhança, o "triângulo" [tex]Q_{1}[/tex] tem o mesmo volume, 8π√3 cm³.
Já que os dois triângulos representam 2/3 do volume do cilindro, o restante é explicado pelo volume do "retângulo".
O "retângulo" P é na verdade é um cilindro, com área da base circular igual a 4π e volume 8π√3.
Com essa informação é possível calcular a altura do cilindro P.
Altura de P = Volume / Área da base = 8π√3 / 4π = 2√3 cm.

Portanto, o "triângulo" [tex]Q_{1}[/tex] tem base igual 4√3 cm e altura igual a 4 cm (diâmetro da base circular do cilindro).



Usando o conhecimento de trigonometria, a tangente do ângulo β é a razão entre os lados opostos e adjacentes desse ângulo.
Tan(β) = Lado oposto / Lado Adjacente
Tan(β) = 4 / 4√3
Tan(β) = 1 / √3
β = 30°

Os ângulos α e β são complementares, significa dizer que α + β = 90°.
Conclui-se que α = 60°.

---

11) Na Figura abaixo, o quadrilátero ABCD é um quadrado de lado medindo 10 cm e o ponto O é centro de uma circunferência que possui os pontos A, B e E em comum com o quadrado. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado, em centímetros, são, respectivamente, iguais a:

A) 12,5π e 40
B) 13,45π e 40
C) 16 e 12,5π
D) 14,5π e 16

Suponha que o centro da circunferência O coincida com a origem do plano cartesiano.
A equação do círculo é igual a [tex]y^{2}+x^{2}=r^{2}[/tex], em que r é o raio da circunferência.
O ponto E está localizado em (0, -r) no gráfico.
Como a distância EC é a metade da diastância BC, segue que [tex]y=2x-r[/tex] é a equação de uma reta que passa pelos pontos E e B. A inclinação da reta é 2, devido a relação entre EC e BC e a reta intercepta o eixo Y em -r.

Resolvendo o sistema de equações por meio de substituição da equação da reta na do círculo:
[tex]y^{2}+x^{2}=r^{2}[/tex]
[tex](2x-r)^{2} + x^{2} = r^{2}[/tex]
[tex]4x^{2}-4rx+r^{2}+x^{2}=r^{2}[/tex]
[tex]5x^{2}-4rx=0[/tex]
[tex]x(5x-4r)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] ou [tex]\frac{4r}{5}[/tex]

Note que x deve ser igual a 5 para que a aresta do quadrado seja igual a 10 cm.
Portanto, [tex]\frac{4r}{5}=5[/tex]
4r = 25
r = 25/4
r = 6,25 cm.

Perímetro do círculo = 12,5π cm.
Perímetro do quadrado = 40 cm.

Outra solução mais simples envolve aplicar a Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo azul da imagem:

O lado do triâgulo é igual a metade da aresta do quadrado, 5 cm.
A altura do triângulo é igual à altura do quadrado subtraída pelo raio da circunferência, 10-r cm.
A hipotenusa do triângulo é igual ao raio da circunferência, r cm.
[tex](10-r)^{2}+5^{2}=r^{2}[/tex]
[tex]100-20r+r^{2}+25=r^{2}[/tex]
[tex]-20r+r^{2}-r^{2}=-100-25[/tex]
[tex]-20r=-125[/tex]
[tex]r=6,25[/tex] cm

---

12) (2013 - FGV) Consideremos cinco cidades A, B, C, D e E, e suas posições relativas descritas a seguir.
1. A cidade B está a 40 km da cidade A na direção nordeste.
2. A cidade C está a 40 km da cidade B na direção oeste.
3. A cidade D está a 40 km da cidade C na direção sul.
4. A cidade E está a 40 km da cidade D na direção leste.
Sejam w, x, y e z as distâncias da cidade A, respectivamente, às cidades B, C, D e E.
Então:
A) w = x = y = z.
B) w < x < y < z.
C) y < x = z < w.
D) y < w = x = z.
E) w = y < x = z.

As cidades estão localizadas no seguinte esquema:


As distâncias w, x, y e z podem ser representadas assim:


Note que o ângulo [tex]\angle ABC[/tex] tem 45º e que BC e CD têm 40 km. Segue que BCD forma um triângulo retângulo passando por A e portanto o ângulo [tex]\angle ADC[/tex] tem 45º também.


Como o ângulo [tex]\angle CDE[/tex] tem 90º e o ângulo [tex]\angle ACD[/tex] tem 45º, seguem que o ângulo [tex]\angle ADE[/tex] tem 45º. Os triângulos ACD e ADE compartilham o lado AD, os lados CD e DE possuem o mesmo comprimento. Dois triângulos que têm dois lados com o mesmo comprimento e um ângulo em comum são idênticos. Conclui-se que AC = AE, ou seja, x=z.


Pode-se afirmar que x e z são menores que w, já que w tem 40 km. A distância w é igual às distâncias dos segmentos CD e DE. Para que x fosse maior que CD, seria necessário que o ângulo [tex]\angle ACD[/tex] fosse obtuso (maior que 90º), mas não é o caso.
Pode-se também afirmar que x e z são maiores que y, pois o ângulo [tex]\angle ACD[/tex] tem menos que 45º graus.

Se quiser, é possível calcular o valor de y usando o Teorema de Pitágoras. A hipotenusa do triângulo BCD é igual a w+y. Então usando o Teoreama de Pitágoras:
BD² = BC² + CD²
(w + y)² = 40² + 40²
(40 + y)² = 1600 + 1600
1600 + 80y + y² = 3200
y² + 80y - 1600 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
[tex]x_{1,2}=\frac{-80\pm \sqrt{80^{2}-4*1*(-1600)}}{2*1}[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{-80\pm \sqrt{23900}}{2}[/tex]

[tex]x_{1}=40(-\sqrt{2}-1)[/tex] distância negativa pode ser descartada

[tex]x_{2}=40(\sqrt{2}-1)[/tex]

[tex]x_{2}\approx 16,57[/tex]

---

13) (2016 - Vunesp) Uma escola, com apenas um pavimento, está construída em um terreno retangular cuja lateral mede o triplo da medida de frente desse terreno. Sabendo-se que a área de toda a escola foi construída sobre uma base de concreto, também retangular, com exatamente 7500 metros quadrados, em que o maior lado media 60 metros a menos que o maior lado do terreno, e o menor lado media 20 metros a menos que o menor lado do terreno, a área total desse terreno, em metros quadrados, é:
A)14400.
B)14500.
C)14600.
D)14700.
E)14800.

Frente do terreno = F
Comprimento do terreno = 2F

Largura da escola = 3F - 60
Comprimento da escola = F - 20
Área da escola = 7.500 m²


Aplicando a fórmula da área do retângulo:
(3F - 60) * (F - 20) = 7500
3F² - 120F + 1200 = 7500
3F² - 120F - 6300 = 0
F² - 40F - 2100 = 0
(F + 30) (F - 70) = 0
F = -30 ou 70 m.
F = 70m

Área do terreno:
A = 3F * F
A = 3F²
A = 3(70²)
A = 3(4900)
A = 14.700 m²

---

14) (2016 - Vunesp) O formato interno de uma caixa d’água é um prisma triangular reto, cuja base é um triângulo retângulo com o maior lado medindo 2,5 metros, e o menor lado,1,5 metro. Se essa caixa comporta um volume máximo de água igual a 15000 litros, então é verdade que sua altura interna mede, em metros,
A) 10.
B) 8,5.
C) 7
D) 5,5.
E) 4.

Lado triângulo = L
1,5² + L² = 2,5²
L² = 2,5² - 1,5²
L² = 6,25 - 2,25
L² = 4
L = 2 m

Área do triângulo = (base * altura) / 2
Á = (2 * 1,5)/2
A = 1,5 m²

15.000 L = 15 m³

Volume do prisma = Área da base * altura do prisma
15 = 1,5 * altura
Altura do prisma = 10 m

---

15) (2012 - Quadrix) Uma pessoa tem 80m de arame para cercar um terreno de forma retangular, sendo que um dos lados do terreno é um rio que não precisará de cerca de arame. Qual deve ser o valor de cada lado X para que o terreno cercado tenha a máxima área?



A) 20 m
B) 25 m
C) 18 m
D) 28 m

Considerando que a largura da cerca igual a x e que o comprimento igual a y.
O perímetro da cerca será 2x + y = 80.
A área será igual a x * y.

A forma mais elementar de resolver é testando as alternativas.
A) 2x + y = 80
2(20) + y = 80
40 + y = 80
y = 40
Área = 20 x 40 = 800 m²

B) 2x + y = 80
2(25) + y = 80
50 + y = 80
y = 30
Área = 25 x 30 = 750 m²

C) 2x + y = 80
2(18) + y = 80
36 + y = 80
y = 44
Área = 18 x 44 = 792 m²

D) 2x + y = 80
2(28) + y = 80
56 + y = 80
y = 24
Área = 28 x 24 = 672 m²

A letra A obteve a maior área.

Se quiser resolver de forma mais matemática, pode-se proceder primeiro reescrevendo a função da área com respeito a x. Partindo da fórmula do perímetro,
2x + y = 80
y = 80 - 2x

A = x * y
A = x * (80 - 2x)
A = 80x - 2x² Agora a área é uma expressão que depende do valor de x.



Para encontrar o ponto máximo da função, pode usar a fórmula do vértice da equação de segundo grau:
Vértice x = -b / 2a
Vértice x = -(80) / 2(-2)
Vértice x = -80 / -4
Vértice x = 20

Ou pode também derivar a área com respeito a x e igualá-la a zero para encontrar o valor de x que maximiza a função:
[tex]\frac{\partial A}{\partial x}=80-4x[/tex]

[tex]80-4x=0[/tex]

[tex]4x=80[/tex]

[tex]x=20[/tex]

Probablidade - Exercícios Resolvidos

CARO ESTUDANTE,
ESSA PÁGINA ESTÁ EM CONSTRUÇÃO. SE TIVER DÚVIDAS OU ENCONTRAR ALGUM ERRO, DEIXE UM COMENTÁRIO.
OBRIGADO. :)

1) (2010 - UFMG) INSTRUÇÃO: Para resolver a questão, considere a seguinte informação a respeito de uma Escola Técnica.
Uma Escola Técnica possui 1000 alunos. Desses, 400 trabalham. Sabe-se ainda que 50 alunos fazem o curso técnico de Informática Diurno e 70 cursam Informática Noturno. Sabe-se também que 10 alunos trabalham e cursam Informática Diurno e 20 alunos trabalham e cursam Informática Noturno.
Para essa Escola Técnica, um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade desse aluno trabalhar ou ser do Curso de Informática?
A) 0,52.
B) 0,49.
C) 0,40.
D) 0,37.

Total = 1000
GRUPO A
Trabalham = 400

GRUPO B
TI Diurno = 50
TI Noturno = 70

GRUPO C
Trabalham e TI Diurno = 10
Trabalham e TI Noturno = 20

O membros do grupo C fazem parte dos grupos A e B. Portanto, ao somarmos os membros de A e B, estamos somando o grupo C duas vezes. Por isso, é necessário subtrair a interseção para encontrar a quantidade correta de alunos que trabalham OU cursam TI.
Trabalham + cursam TI = 400 + 120 - 30 = 490
Probabilidade = 490 / 1000 = 49%

---

2) Em votações abertas na Assembleia Legislativa, os deputados X, Y e Z votam em sequência.
Sabe-se que os deputados Y e Z, na hora de votar, têm 60% de probabilidade de acompanhar o voto do deputado que votou imediatamente antes de cada um deles. Em uma determinada votação aberta, o deputado X votou a favor da proposta em votação.

A probabilidade do deputado Z também votar a favor da proposta em votação é
A) 30%.
B) 36%.
C) 40%.
D) 52%.
E) 60%.
Considere a seguinte convenção:
P(Y|X) = Probabilidade de Y votar a favor, sendo que X votou a favor.
P(~Y|X) = Probabilidade de Y votar contra, sendo que X votou a favor.
P(Z|Y) = Probabilidade de Z votar a favor, sendo que Y votou a favor.
P(~Z|Y) = Probabilidade de Z votar contra, sendo que Y votou a favor.
P(Z|~Y) = Probabilidade de Z votar a favor, sendo que Y votou contra.
P(~Z|~Y) = Probabilidade de Z votar contra, sendo que Y votou contra.

Sabe-se que X votou a favor. Há 4 hipóteses que podem desencadear:
(A) Y é a favor, Z é a favor.
P(Y|X) * P(Z|Y) = 0,6 * 0,6 = 0,36

(B) Y é a favor, Z é contra.
P(Y|X) * P(~Z|Y) = 0,6 * 0,4 = 0,24

(C) Y é a contra, Z é a favor.
P(~Y|X) * P(Z|~Y) = 0,4 * 0,4 = 0,16

(D) Y é a contra, Z é contra.
P(~Y|X) * P(~Z|~Y) = 0,4 * 0,6 = 0,24

O enunciado quer a probabilidade de Z ser a favor. Z é a favor nas hipóteses A ou C, portanto a probabilidade de Z ser a favor é:
(A) ou (C) = (A) + (C) = 0,36 + 0,16 = 0,52 = 52%.

---

3) (2010 - UTFPR) Uma mãe levou sua criança ao supermercado. Suponha que a probabilidade da criança pedir algum brinquedo é de 0,7 e de pedir algum doce é 0,9. A mãe atende a um pedido da criança com uma probabilidade de 0,6, independentemente de já ter atendido a um pedido anterior, bem como só compra um brinquedo ou um doce se a criança pedir. A probabilidade de essa criança sair do supermercado superfeliz por ter ganho um brinquedo e um doce é:
A) menor que 0,1.
B) entre 0,1 e 0,2.
C) entre 0,2 e 0,25.
D) entre 0,25 e 0,3.
E) maior que 0,3.

P(A) = probabilidade de pedir brinquedo e ganhar brinquedo = 0,7 * 0,6 = 0,42
P(B) = probabilidade de pedir doce e ganhar doce) = 0,9 * 0,6 = 0,57
P(A) e P(B) = P(A) * P(B) = 0,42 * 0,57 = 0,2394

---

4) (2011 - FDC) João resolveu escolher dois dias de uma determinada semana para estudar para uma prova de Matemática. Para isso, cortou sete pedaços de papel e escreveu em cada um deles o nome de um dia da semana. Em seguida, ele colocou os sete em uma urna, e, aleatoriamente, retirou ao mesmo tempo dois pedaços de papel que indicavam os dois dias em que deveria estudar. A probabilidade de ele ter sorteado o sábado e o domingo é igual a:
A) 1/9
B) 1/12
C) 1/15
D) 1/20
E) 1/21

Calculando a probabilidade diretamente:
P(sábado) = P(domingo) = 1/7.
P(sábado|domingo) = P(domingo|sábado) = 1/6 * 1/7 = 1/42.
P(sábado e domingo) = P(sábado|domingo) ou P(domingo|sábado) = 1/42 + 1/42 = 1/21

Usando análise combinatória:
Como a ordem não importa, o grupo de papéis com sábado e domingo representa uma das combinações possíveis de um total de combinações de 2 elementos entre 7.
Combinações totais possíveis = C(7,2)
C(7,2) = 7! / (5!2!)
C(7,2) = 7*6*5*4*3*2*1 / 5*4*3*2*1*2*1
C(7,2) = 7*6 / 2
C(7,2) = 7*3
C(7,2) = 21

Probabilidade = Combinações desejáveis / Combinações possíveis = 1 / 21.

---

5) (2015 - Acesso Público) Se Pedro é estudioso e Beto não é divertido, então Beto é divertido ou Antônio não é corajoso. Considerando que os valores lógicos das três proposições dessa sentença são igualmente prováveis, a probabilidade de a sentença (proposição composta) ser falsa é:
A) 1/8
B) 1/4
C) 3/8
D) 1/2
E) 5/8

Considere as proposições:
A = Antônio é corajoso;
B = Beto é divertido;
P = Pedro é estudioso.

Enunciado:
(P ^ ~B) → (B v ~A)
Pela implicação material equivale a: ~(P ^ ~B) v (B v ~A)
Pelo Teorema de DeMorgan equivale a: (~P v B) v (B v ~A)
Pela regra comutativa da disjunção: ~P v B v B v ~A
Pela Disjunção Introdutiva BvB≡B: ~P v B v ~A

Como todas as proposições estão unidas por uma disjunção inclusiva, segue que em apenas um dos casos o enunciado será falso, isto é, quanto todas as proposições forem falsas. Como há 3 proposições simples e a tabela conta com oito linhas, espera-se que haja apenas um valor falso entre os oito.

Tabela verdade:


-"Professor, eu já sabia disso antes chegar à equivalência ~P v B v ~A, pois o conectivo se..., então... só é falso quando a condição suficiente é verdadeira e condição necessária é falsa."

Cuidado! Se você raciocinou assim, acertou esse problema, mas não é a forma correta de abordá-lo.
Veja quantos Falsos tem essa tabela verdade em que os principais blocos estão unidos pela condicional.

"Se Pedro é estudioso OU Beto não é divertido, então Beto é divertido E Antônio não é corajoso":



Há 5/8 de chances de a sentença (proposição composta) ser falsa. Isso porque a condição suficiente foi formada por uma proposição composta unida pela disjunção inclusiva, que tem muitas linhas verdadeiras, e a condição necessária foi formada por uma proposição composta unida pela conjunção, que tem muitas linhas falsas.

Quando escrevemos o enunciado em um formato semelhante a ~P v B v ~A, não tem erro, porque as proposições simples estão todas unidas pelo mesmo conectivo. Fica claro que ~P v B v ~A só é falso quando P e A forem verdadeiras (~P e ~A serão falsos) e B for falso.

---

6) (2006 - BIORIO) Um técnico de futebol tem em seu elenco, 2 goleiros, 6 zagueiros, 6 meios-campos e 6 atacantes. Se três jogadores diferentes forem sorteados ao acaso, a probabilidade de que apenas um atacante seja escolhido é aproximadamente igual a:
A) 22%.
B) 30%.
C) 40%.
D) 48%.
E) 56%.

Solução usando probabilidade:
P(A e X e X) = Probabilidade de selecionar exatamente 1 atacante e depois dois outros especialistas quaisquer = 6/20
P(A e X e X) = 6/20 * 14/19 * 13/18
P(A e X e X) = 1/10 * 7/19 * 13/3
P(A e X e X) = 91/570

Note que P(A e X e X) = P(X e A e X) = P(X e X e A), ou seja, como o atacante pode ser escolhido primeiro, ou segundo ou terceiro, então deve-se multiplicar o resultado por 3.

P(1 só atacante) = 3*(91/570)
P(1 só atacante) = 273/ 570
P(1 só atacante) = 0,47895 ≈ 48%.

Solução usando análise combinatória:
Combinações totais de 3 jogadores quaisquer entre 20 = C(20,3).
C(20,3) = 20! / [3!(20-3)!]
C(20,3) = 20! / (3!17!)
C(20,3) = (20*19*18*17!) / (3!17!)
C(20,3) = (20*19*18) / 3!
C(20,3) = (20*19*18) / 6
C(20,3) = 20*19*3
C(20,3) = 380*3
C(20,3) = 1140

Combinações totais em que há exatamente 1 atacante. Será uma combinação de apenas duas pessoas, pois a terceira é necessariamente um dos seis atacante. Além disso, será uma combinação de 2 entre 14, pois os 6 atacantes estão excluídos do elenco.
6*C(14,2) = (6*14!) / (2!12!)
6*C(14,2) = (6*14*13) / 2!
6*C(14,2) = 3*14*13
6*C(14,2) = 546

Probabilidade = eventos desejáveis / eventos possíveis = 546 / 1140 = 0,47895 ≈ 48%.

---

7) (2013 - Quadrix) Um jogador deve jogar dois dados de seis faces, (respectivamente numeradas de 1 a 6), ao mesmo tempo, para determinar a quantidade de pontos que ele vai obter para avançar para o próximo nível. Qual é a probabilidade de que, ao jogar esses dois dados ao mesmo tempo, a soma dos valores obtidos seja igual a 12?
A) 1/6
B) 1/12
C) 1/18
D) 1/24
E) 1/36

Só quando ambos os dados são iguais a seis que o somatório será igual a 12.
Como há seis faces em cada dado, há 1/6 de chance de cada um deles cair com a face seis voltada para cima.

P(seis) E P(seis) = P(seis) * P(seis) = 1/6 * 1/6 = 1/36.
Letra E.

Tabela com todos os eventos possíveis ao se lançar dois dados de seis faces:

---

8) (2012 - Quadrix) Num jogo de dados, um jogador A ganha se tirar um número maior ou igual ao jogador B, no mesmo lance. Então, a probabilidade de A ganhar é de:
A) 2/5
B) 7/12
C) 2/3
D) 7/10
E) 8/9

Há 36 eventos possíveis resultantes do lançamento de dois dados A e B de seis faces: {1,1}, {1,2}, {1,3}, ..., {6,6}.
Em 6 deles, as faces dos dois dados A e B são iguais: {1,1}, {2,2}, {3,3}, ..., {6,6}.
Nos outros 30 eventos, há 15 casos em que A é maior que B e há 15 casos em que B é maior que A.
O jogador A vence se os dados forem iguais ou se A for maior que B. Logo, há 21 casos em que o jogador A sai vitorioso.
A probabilidade de A vencer é igual a: casos favoráveis / casos totais.
P(A vencer) = 21 / 36
Divide-se o numerador e o denominador por três para chegar à resposta da letra B, 7/12.

---

8) (2009 - FGV) 16 funcionários de uma empresa, entre eles Pedro e Paula, que são casados, vão ser divididos por sorteio em quatro grupos de quatro pessoas e, cada grupo vai analisar um aspecto da gestão da empresa.
A probabilidade de que Pedro e Paula caiam no mesmo grupo é de:
A) 5%.
B) 10%.
C) 15%.
D) 20%.
E) 25%.

Solução por meio do cálculo direto da probabilidade:
Em grupo de quatro pessoas, a probabilidade de que Pedro e Paula estejam juntos é igual a:
P(Pedro) E P(Paula) E P(Outro) E P(Outro) = 1/16 * 1/15 * 14/14 * 13/13 = 1/240.
No cálculo acima, a ordem foi levada em consideração, mas pode haver diferentes sequências de seleção, tais quais: (Paula, outro, Pedro, outro) ou (Outro, Pedro, Paula, Outro). O total é igual a uma permutação entre quatro casas com dois elementos repetidos.
Pr(4) = 4! / 2! = (4*3*2) / 2 = 12
Logo, P(Pedro e Paula) = 12 * (1/240) = 1/20
Finalmente, isso pode ocorrer em qualquer um dos 4 grupos que serão formados.
Há ao todo 4/20 ou 20% de chance do casal ficar junto.

Solução por meio da análise combinatória:
Quantidade de grupos possíveis:
TOTAL = (C(16,4) * C(12,4) * C(8,4) * C(4,4)) / P(4)

Quantidade de grupos em que estão presentes Pedro E Paula:
GPP = (4 * C(14,2) * C(12,4) * C(8,4) * C(4,4)) / P(4)

Probabilidade de Pedro e Paula estarem no mesmo grupo:
GPP / TOTAL = (4 * C(14,2)) / C(16,4)
GPP / TOTAL = 4*7*13 / 2*5*14*13
GPP / TOTAL = 1/5
GPP / TOTAL = 0,2 ou 20%

---

9) (2014 - Quadrix) Durante um dia, em que foram registradas 500 visitas, um blog esportivo fez uma pesquisa acerca dos esportes favoritos de seus visitantes. Cada visitante só pode votar uma vez e em um único esporte. O resultado da pesquisa você vê no gráfico a seguir.

Escolhendo-se aleatoriamente, para uma premiação, um dos visitantes desse dia, que participou de pesquisa, qual é, aproximadamente, a probabilidade de ele ter votado em futebol?
A) 32%
B) 43%
C) 65%
D) 75%
E) 87%

500 * 0,32 = 160 votaram futebol.
500 * 0,28 = 140 votaram basquete.
500 * 0,10 = 50 votaram corrida.
500 * 0,05 = 25 votaram vôlei.
500 * 0,25 = 125 não participou.

Esporte	Percentual	Total x Percentual
Futebol	32%	160 pessoas
Basquete	28%	140 pessoas
Corrida	10%	50 pessoas
Vôlei	5%	25 pessoas
Não participaram	25%	125 pessoas
TOTAL	100%	500 pessoas

Dos 500 visitantes, 32% votaram em futebol, o que representa 160 pessoas.
Note que 25% dos visitantes, ou 125 pessoas, não participaram da pesquisa.

Dentre os que participaram, qual a probabilidade de ele ter escolhido futebol?
P(escolhido futebol) = 160 / 375
P(escolhido futebol) ≈ 0,4267 ≈ 43%
Letra B.

---

10) (2014 - MS Concursos) Se num grupo de 5 homens e 7 mulheres sorteamos 4 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 2 mulheres?
A) 4/12
B) 14/33
C) 14/35
D) 7/33
E) 4/35

Calculando a probabilidade diretamente:
Probabilidade da primeira pessoa escolhida ser uma mulher = 7/12;
Probabilidade da segunda pessoa escolhida ser outra mulher = 6/11;
Probabilidade da terceira pessoa escolhida ser um homem = 5/10;
Probabilidade da quarta pessoa escolhida ser outro homem = 4/9.

Nessa ordem, a probabilidade de serem escolhidos duas mulheres e dois homens = (7*6*5*4) / (12*11*10*9) = 7/99

Essa é a probabilidade de se obter a sequência (M, M, H, H). Essa sequência pode sofrer permutações entre quatro casas, sendo que 2 pares de elementos são repetidos. Portanto, deve-se dividir P(4) por P(2) duas vezes.
Pr(M, M, H, H) = 4! / (2!*2!) = 6

Então a probabilidade de se formar um grupo com 2 homens e 2 mulheres = 6 * (7/99) = 14/33.

Resolução por meio de análise combinatória:
Quantidade de conjuntos possíveis: C(12,4) = (12*11*10*9)/(4*3*2) = 495
Conjuntos com 2 mulheres e 2 homens: C(7,2) E C(5,2) = 21 * 10 = 210
Probabilidade de se formar uma conjunto com 2 homens e 2 mulheres = 210 / 495 = 14/33.

---

11) (2015 - FGV) Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em um cartão e todos os cartões são colocados em uma urna. Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem reposição, dois cartões.
A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a letra C é de:
A) 2/13
B) 3/39
C) 1/78
D) 1/156
E) 25/156

O enunciado pede a probabilidade "de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a letra C". Isso indica que a ordem dos cartões não importa.

Calculando a probabilidade diretamente:
Há 13 letras na palavra SANTA CATARINA.
As letras S e C aparecem só uma vez na palavra SANTA CATARINA.
A probabilidade de sortear um S = 1/13.
A probabilidade de sortear um C após ter sorteado um S = 1/13 * 1/12 = 1/156

A probabilidade de sortear um C = 1/13.
A probabilidade de sortear um S após ter sorteado um C = 1/13 * 1/12 = 1/156

Logo a probabilidade de sortear um S e um C = 2 * (1/156) = 1/78

Resolução por meio de análise combinatória:
As letras S e C representam uma única das combinações possíveis de duas letras.
Ao todo, é possível montar combinar duas letras quaisquer de 78 maneiras diferentes:
C(13,2) = (13*12) / 2 C(13,2) = 78
Logo a probabilidade de selecionar a combinação {S,C} é igual a 1/78.

---

12) (2010 - FUNDEP) Suponha que a fiscalização estadual nas empresas de uma cidade seja feita de forma aleatória, com as seguintes probabilidades de ocorrência:

P (nenhuma fiscalização em um ano) = 0,10
P (uma fiscalização em um ano) = 0,20
P (duas fiscalizações em um ano) = 0,30

Nesse caso, a probabilidade de uma empresa dessa cidade ser fiscalizada uma única vez em cada um de três anos consecutivos é de
A) 0,008.
B) 0,080.
C) 0,300.
D) 0,920.

A probabilidade de uma empresa dessa cidade ser fiscalizada uma única vez em cada um de três anos consecutivos é de:
= P(uma fiscalização em um ano) E P(uma fiscalização em outro ano) E P(uma fiscalização em um terceiro ano)
= P(uma fiscalização em um ano) * P(uma fiscalização em um ano) * P(uma fiscalização em um ano)
= 0,20 * 0,20 * 0,20
= 0,008

---

13) (Desconhecido) Os dados de uma pesquisa realizada sobre a preferência por petiscos em uma tradicional Roda de Samba foram registrados na tabela a seguir:

Petisco	Número de clientes
Feijoada	236
Carne seca	154
Batata frita	146
Feijoada e carne seca	84
Feijoada e batata frita	54
Carne seca e batata frita	60
Feijoada, carne seca e batata frita	36
Outros	52

Sorteando aleatoriamente um desses clientes, a probabilidade do cliente preferir apenas feijoada é:
A) 23/71
B) 19/71
C) 15/71
D) 13/71

Se um cliente gosta de feijoada, carne seca e batata frita, então esse cliente também vai responder que gosta de feijoada e carne seca, que gosta de feijoada e batata frita e que gosta de carne seca e batata frita.
Pode-se afirmar que o conjunto "Feijoada, carne seca e batata frita" está contido no conjunto "Feijoada e carne seca".
Então, para isolar os cliente que gostam só de Feijoada e carne seca, deve-se subtrair o subconjunto "Feijoada, carne seca e batata frita".

Clientes que gostam só de feijoada e carne seca = 84 - 36 = 48.
Clientes que gostam só de feijoada e batata frita = 54 - 36 = 18.

Seguindo a mesma lógica, faz parte do grupo que gosta de feijoada os que gostam de "feijoada e carne seca" e os que gostam de "feijoada e batata frita".
Cliente que gostam só de feijoada = 236 - 48 - 18 - 36 = 134.
Cliente que gostam só de feijoada = 134

Admitindo as seguintes abreviações:
F = Clientes que gostam de feijoada;
C = Clientes que gostam de carne seca;
B = Clientes que gostam de batata frita;
FC = Clientes que gostam de feijoada e de carne seca;
FB = Clientes que gostam de feijoada e de batata frita;
CB = Clientes que gostam de carne seca e de batata frita;
FCB = Clientes que gostam de feijoada, de carne seca e de batata frita;
O = Clientes que gostam de outros petiscos.

O número total de clientes é igual a:
TOTAL = F + C + B - FC - FB - CB + FCB + Outros
TOTAL = 236 + 154 + 146 - 84 - 54 - 60 + 36 + 52
TOTAL = 426

A probabilidade de selecionar um cliente que gosta só de feijoada é igual a: 134 / 426 ≈ 23/71.

---

14) (2010 - FUNRIO) João lança dois dados honestos e solicita a Antônio que adivinhe a soma dos resultados nos dois lançamentos. As chances de Antônio acertar serão maiores se ele escolher
A) 7.
B) 8.
C) 6.
D) 5.
E) 9.

O resultado mais provável é aquele que possui o maior número de diferentes combinações para chegar ao resultado.
Por exemplo, só há uma combinação de valores capaz de obter uma soma igual 2, quando ambos os dados são igual a 1, representado pelo conjunto {1,1}.
Para uma soma igual a 10, há três combinações possíveis {4,6}, {5,5} e {6,4}.
Para uma soma igual a 6, existem cinco combinações possíveis {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2} e {5,1}.

De forma resumida:
Para somar 2, há uma combinação possível;
Para somar3, há duas combinações possíveis;
Para somar 4, há três combinações possíveis;
Para somar 5, há quatro combinações possíveis;
Para somar 6, há cinco combinações possíveis;
Para somar 7, há seis combinações possíveis;
Para somar 8, há cinco combinações possíveis;
Para somar 9, há quatro combinações possíveis;
Para somar10, há três combinações possíveis;
Para somar 11, há duas combinações possíveis;
Para somar 12, há uma combinação possível.

Em um quadro:

A melhor estratégia é escolher o resultado da soma que apareça com a maior frequência, o sete.

---

15) Em 2007, os brasilienses passaram mais cheques sem fundo do que a média dos brasileiros. Em cada mil folhas de cheque dadas pelo pagamento de algum bem ou serviço, 30 foram devolvidas na capital federal, enquanto, na média nacional, o volume cai para 20 a cada mil. Ao longo de 2007, no Brasil, foram 30 milhões de devoluções, 6 milhões a menos do que em 2006. Em 2006, a inadimplência era de 21 a cada mil folhas.

Correio Braziliense, 24/1/2008 (com adaptações).

A partir das informações apresentadas acima, julgue os itens subsequentes.

Considere-se que, no ano de 2007, uma pessoa tenha recebido, de brasilienses, em três dias consecutivos, três folhas de cheque pelo pagamento de algum bem ou serviço. Nessa situação hipotética, a probabilidade de que exatamente uma dessas três folhas tenha sido devolvida será superior a 0,08 e inferior a 0,10.

Em Brasília, 30 de cada 1000 cheques são devolvidos.
Uma pessoa recebeu 3 folhas de cheque de brasilienses.
É possível calcular a probabilidade de uma única folha ser devolvida usando a fórmula da probabilidade binomial.
P(D) = Probabilidade do cheque ser devolvido = 0,03
P(~D) = Probabilidade do cheque não ser devolvido = 0,97
P(D e ~D e ~D) = 0,03 * 0,97 * 0,97
P(U) = Probabilidade de exatamente um cheque ser devolvido entre 3
P(U) = P(D e ~D e ~D) ou P(~D e D e ~D) ou P(~D e ~D e D)
P(U) = (0,03 * 0,97 * 0,97) + (0,03 * 0,97 * 0,97) + (0,03 * 0,97 * 0,97)
P(U) = 3 * (0,03 * 0,97 * 0,97)
P(U) = 0,084681
0,08 < P(U) < 0,10.