A) 9/16.
B) 11/18.
C) 15/22.
D) 17/24.
E) 19/26.
A melhor maneira de resolver é pela regra do complemento.
P(A) = 1 - Pc(A)
Ou em outras palavras, a probabilidade de encontrar pelo menos um bilhete premiado é igual a 100% menos a probabilidade de não encontrar nenhum.
P(não encontrar nenhum bilhete) = 7/10 * 6/9 * 5/8
P(não encontrar nenhum bilhete) = 7 / (2 * 3 * 4)
P(não encontrar nenhum bilhete) = 7 / 24
Então a probabilidade de encontrar pelo menos um bilhete é:
P(pelo menos 1) = 1 - P(não encontrar nenhum bilhete)
P(pelo menos 1) = 1 - 7/24
P(pelo menos 1) = 17/24
2) João utilizou apenas os algarismos 5 e 7 para definir uma senha de acesso ao seu computador. Sabe-se que essa senha tem seis algarismos e que cada um dos algarismos foram utilizados pelo menos uma vez. A quantidade máxima de senhas possíveis ,na situação descrita, corresponde a:
A) 36
B) 54
C) 62
D) 72
São seis casas para preencher com os dígitos 5 ou 7.
_ * _ * _ * _ * _ * _
A primeira casa pode ser preenchida com qualquer um dos dois dígitos.
2 * _ * _ * _ * _ * _
A segunda também:
2 * 2 * _ * _ * _ * _
Enfim... todas podem ser preenchida com duas opções diferentes:
2 * 2 * 2 * 2 * 2 = [tex]2^{6}[/tex] = 64 possibilidades.
Porém, o enunciado diz que "cada um dos algarismos foram utilizados pelo menos uma vez", então há duas senhas não contempladas:
{555555} e {777777}
Ao todo são 64 - 2 = 62 possibilidades.
3) Considere a soma abaixo, em que foram escritas apenas as dez primeiras parcelas:
S = 1 + (0) + 2 + (-1) + 3 + (-2) + 4 + (-3) + 5 + (-4) + ...
Qual é o menor número de parcelas de S que devem ser somadas, na ordem apresentada acima, para que a soma obtenha um resultado maior do que 160?
A) 159
B) 160
C) 161
D) 320
E) 321
Tem várias maneiras de resolver.
1) Liste as primeiras somas parciais da sequência e identifique o padrão: A soma parcial, S(n), vai ser igual a soma dos termos, começando do primeiro termo e terminando no enésimo.
S(1) = 1
S(2) = 1 + (0) = 1
S(3) = 1 + (0) + 2 = 3
S(4) = 1 + (0) + 2 + (-1) = 2
S(5) = 1 + (0) + 2 + (-1) + 3 = 5
S(6) = 3
S(7) = 7
S(8) = 4
S(9) = 9
S(10) = 5
S(11) = 11
S(12) = 6
S(13) = 13
S(14) = 7
...
Notou?
S(número par) = número par / 2
S(Número ímpar) = número ímpar
O primeiro número maior do que 160 vai ser um elemento ímpar da sequência.
S(?) = 161
S(161) = 161
2) Transformar S em duas sequências e aplicar a fórmula da soma parcial em ambas:
Pense em S como duas sequências separadas.
S = A + B = 1 + (0) + 2 + (-1) +3 + (-2) + ...
A = 1+2+3+4+5+...
B = 0-1-2-3-4-5-...
Considere ainda que [tex]A_{n}[/tex] e [tex]B_{n}[/tex] sejam respectivamente o enésimo termo das sequências A e B. Por exemplo:
| [tex]A_{n}[/tex] | [tex]B_{n}[/tex] |
|---|---|
| [tex]A_{1}=1[/tex] | [tex]B_{1}=0[/tex] |
| [tex]A_{2}=2[/tex] | [tex]B_{2}=-1[/tex] |
| [tex]A_{3}=3[/tex] | [tex]B_{3}=-2[/tex] |
| [tex]A_{4}=4[/tex] | [tex]B_{4}=-3[/tex] |
| ... | ... |
| [tex]A_{n}[/tex] = n | [tex]B_{n}[/tex] = -n+1 |
| [tex]A_{n+1}[/tex] = n+1 | [tex]B_{n+1}[/tex] = -n |
Usando a fórmula da soma das progressões aritméticas finitas:
[tex]\sum_{1}^{n}A_{n}=(\frac{n}{2})(1+A_{n})[/tex]
[tex]\sum_{1}^{n}B_{n}=(\frac{n}{2})(0+B_{n})[/tex]
O enunciado pede para qual n a soma A+B será maior que 160.
[tex](\frac{n+1}{2})(1+A_{n+1})+(\frac{n}{2})(0+B_{n})≥161[/tex]
*Note que acrescentei um termo à sequência A, pois ela é positiva. Os resultados mais altos da diferença se darão quando a sequência A estiver um termo a frente da sequência B.
[tex](\frac{n+1}{2})(1+(n+1))+(\frac{n}{2})(-n+1)≥161[/tex]
[tex]\frac{(n+1)^{2}+(n+1)}{2}+\frac{-n^{2}+n}{2}≥161[/tex]
[tex](n+1)^{2}+(n+1)-n^{2}+n>322[/tex]
[tex]n^{2} + 2n + 1 + n + 1 - n^{2} + n ≥ 322[/tex]
[tex]4n + 2 ≥ 322[/tex]
[tex]4n ≥ 320[/tex]
[tex]n ≥ 80[/tex]
Após 80 parcelas de A e B, a parcela 81 (n+1) de A irá cumprir o pedido do enunciado. Totalizando 81 parcelas de A e 80 de B, ou seja, 161.
CUIDADO para não marcar a letra E. A letra E é tentadora, mas não é a resposta. O examinador queria que você caísse nessa armadilha.
S = 1 + (0) + 2 + (-1) +3 + (-2) + 4 + (-3) + 5 + (-4) + ...
S = [1 + (0)] + [2 + (-1)] +[3 + (-2)] + [4 + (-3)] + [5 + (-4)] + ...
S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ...
"Ah, saquei. A cada 2 elementos, adiciona-se um ao resultado. Então vai chegar em 160 lá depois de somar uns 320 elementos!" Não, não, não. A soma é uma montanha russa que sobe e desce. Pois quando chega um elemento ímpar a montanha russa dá um salto Quando vem um elemento par ela cai.
Depois de 160 elementos, você vai ter 80 pares somando 1.
S = [1 + (0)] + [2 + (-1)] + ... + [80 + (-79)]
S = 80 * 1
S = 80
Mas assim que chegar o próximo elemento ímpar:
S = [1 + (0)] + [2 + (-1)] + ... + [80 + (-79)] + 81
S = (80*1) + 81
S = 161
4) As reuniões na empresa ABC são realizadas em uma mesa hexagonal. Na última reunião, o Diretor Geral sentou-se imediatamente à esquerda do Gerente de Vendas. O Gerente de Marketing não se sentou ao lado do Gerente de Pesquisa nem imediatamente à direita do Gerente de Compras, mas em frente à Secretária. A ordem, no sentido horário, em que os participantes se sentaram à mesa pode ser:
A) Diretor Geral, Secretária, Gerente de Pesquisa, Gerente de Compras, Gerente de Marketing e Gerente de Vendas.
B) Diretor Geral, Gerente de Vendas, Secretária, Gerente de Pesquisa, Gerente de Compras e Gerente de Marketing.
C) Diretor Geral, Gerente de Vendas, Gerente de Compras, Gerente de Pesquisa, Gerente de Marketing e Secretária.
D) Gerente de Vendas, Secretária, Gerente de Pesquisa, gerente de Compras, Gerente de Marketing e Diretor Geral.
E) Secretária, Gerente de Compras, Gerente de Pesquisa, Gerente de Marketing, Gerente de Vendas e Diretor Geral.
A) Certa.
B) Errada. O Diretor Geral sentou-se à direita do Gerente de Vendas.
C) Errada. O Gerente de Marketing não está à frente da Secretaria.
D) Errada. O Diretor Geral sentou-se à direita do Gerente de Vendas.
E) Errada. O Gerente de Marketing está ao lado do Gerente de Pesquisa.
5) Marcos estava sem dinheiro, então foi ao banco e sacou certa quantia para pagar uma dívida cujo valor corresponde a 30% da quantia que sacou. Com 40% do que restou comprou um produto numa loja, restando-lhe ainda R$ 1.050,00. A quantia que Marcos sacou é igual a:
a) Um valor maior que R$ 2.700,00
b) Um valor menor que R$ 2.400,00
c) R$ 2.600,00
d) Um valor entre R$ 2.400,00 e R$ 2.600,00
1) Marcos sacou X reais.
2) Marcos pagou um dívida de 0,3*X reais. Restou-lhe (0,7*X) reais.
3) Marcos comprou um produto no valor de (0,4 * 0,7 * X) reais
4) Marcos ficou com (0,6 * 0,7 * X), ou 1050,00.
0,6 * 0,7 * X = 1050
X = 1050 / 0,42
X = 2500
6) Seguindo a lógica, quais números equivalem ao décimo e ao décimo primeiro termo da sequência:
2, 2, 5, 6, 8, 18, 11, 54, 14,...
Portanto os números que seguem são: 162 e 17
7) (2014 - IDECAN) No caixa de um estabelecimento comercial há R$ 50,00 em notas de R$ 5,00, R$ 30,00 em notas de R$ 2,00 e R$ 35,00 em moedas de R$ 1,00, totalizando R$ 115,00, e não há moedas ou cédulas de outros valores. O caixa efetuará um pagamento de R$ 10,00 referente à compra de material de escritório. De quantas maneiras distintas poderá ser feito este pagamento, usando apenas cédulas e moedas disponíveis no caixa?
A)7.
B)8.
C)9.
D)10.
E)11.
Pode-se fazer o pagamento das seguintes maneiras:
1) 2 de $5
2) 1 de $5 e 2 de $2 e 1 de $1
3) 1 de $5 e 1 de $2 e 3 de $1
4) 1 de $5 e 4 de $1
5) 5 de $2
6) 4 de $2 e 2 de $1
7) 3 de $2 e 4 de $1
8) 2 de $2 e 6 de $1
9) 1 de $2 e 8 de $1
10) 10 de $1
8) Em uma pesquisa sobre o consumo de 3 marcas de cervejas - A, B e C - entre os frequentadores de determinado bar, os dados foram organizados da seguinte forma:
Veja o quadro abaixo
Escolhendo-se um consumidor ao acaso, a probabilidade de ele ser consumidor de uma única marca de cerveja é
A) 1/2.
B) 1/3.
C) 1/4.
D) 1/5.
E) 1/6.
Apenas A = 48 - 11 - 12 + 5 = 30
Apenas B = 41 - 11 - 13 + 5 = 22
Apenas C = 40 - 12 - 13 + 5 = 20
Total de consumidores de uma única marca = 72
Total de entrevistados = 48 + 41 + 40 - (11 + 12 + 13) + 5 + 46 = 144
Probabilidade solicitada: 72 / 144 = 1 / 2
9) (2007 -ANPAD) Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como
A) ~ (~ Q ∧ P)
B) ~ (~ P ∧ Q)
C) ~ (P -> Q)
D) ~ P -> Q
E) ~ P ∧ ~ Q
O enunciado diz:
~(~P→Q)
Equivalências:
Implicação Material: ~(PvQ)
Teorema deDeMorgan: ~~(~P^~Q)
Dupla Negação: ~P^~Q
10) (2007 -ANPAD) Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é
A) “Maria é elegante ou é inteligente”.
B) “Maria é elegante e não é inteligente”.
C) “Maria não é elegante e é inteligente”.
D) “Maria não é elegante e nem é inteligente”.
E) “Maria não é elegante ou não é inteligente”
Adote as seguintes abreviações:
P= Maria é elegante
Q= Maria é inteligente
Enunciado:
~(~P→Q)
Usando a implicação material equivale a:
~(P v Q)
Usando o Teorema de DeMorgan, equivale a:
~~(~P ^ ~Q)
Eliminando a dupla negação, chega-se à resposta:
~P ^ ~Q
Leia-se: Maria não é elegante nem inteligente.
11) Sejam P, Q e R proposições simples. A proposição composta (P→Q) v(P→R) é logicamente equivalente a seguinte proposição:
A) P↔(Q^R)
B) (PvQ)v(PvR)
C) (P^Q)→R
D) P→(QvR)
E) (PvQ)^R
Encontra-se uma equivalência na letra D formada a partir da regra da Composição:
(P→Q) v (P→R) ≡ P → (Q v R) ≡ (P→Q) v R
As três formas só são falsas quando P é verdadeiro e ambos Q e R são falsos. Em todos os demais casos, a expressão é verdadeira.
(A) É falsa em diversos casos, como por exemplo, P verdadeiro, Q falso e R verdadeiro.
(B) Só é falso quando todas as três variáveis são falsas.
(C) É falso só quando P e Q são verdadeiros, mas R é falso.
(E) É falso se P e Q são falsos, ou se R é falso, ou se todas são falsas.
12) Na sequência 11; 13; 16; 26; 28; 31; 41; 43; 46; 56; 58; 61; 71; . . . a diferença entre o 35° termo e o 28° termo é igual a
a) 37.
b) 32.
c) 29.
d) 21.
e) 42.
Para encontrar a variação do índice basta efetuar uma divisão por 3.
Se o resto for igual a 0, então a variação é = 3
Se o resto for igual a 1, então a variação é = 10
Se o resto for igual a 2, então a variação é = 2
13) (2008 - ANPAD) O próximo número da sequência 1, 2, 3, 7, 46 é
A) 2110.
B) 2109.
C) 2108.
D) 2107.
E) 2106
A regra é elevar o último número ao quadrado e subtrair pelo número anterior. Começando com 1, 2.
2² = 4
4 - 1 = 3
Fica 1, 2, 3.
3² = 9
9 - 2 = 7
Fica 1, 2, 3, 7.
7² = 49.
49 - 3 = 46.
Fica 1, 2, 3, 7, 46.
46² = 2116.
2116 - 7 = 2109.
14) As aulas de pintura de Aline ocorrem toda quarta-feira, independentemente de ser feriado ou época de férias. Aline, que nunca faltou a nenhuma aula de pintura, fez dois trabalhos por aula até completar dois anos de curso. Desde então, tem feito três trabalhos por aula. Sabendo que a primeira aula de Aline ocorreu há exatamente 1000 dias, pode-se concluir que o número de trabalhos realizados por ela é igual a:
A)324
B)327
C)355
D)358
E)428
2 anos têm 730 dias
(730 dias) / (7 dias em uma semanas)
= (700+ 28+ 2) / 7
= (100 + 4) + (2/7)
= 104 semanas e 2 dias.
Nos demais 272 dias (para completar 1000 dias) ela teve:
272 / 7
= (210 + 56 + 6) / 7
= (30 + 8) + 6/7
= 38 semanas + 6 dias.
Então, ela pintou:
104 * 2 = 208 trabalhos nos dois primeiros anos
38 * 3 = 114 trabalhos ao longo do terceiro ano
2 trabalhos no primeiro dia de aula.
Totalizando 324 quadros.
Resolvendo de forma mais rústica:
A primeira aula foi há 1000 dias. Ele tem aulas nas quartas.
Eu entendo a partir disso que a contagem começa em uma quarta-feira.
Logo,
dia 1 = 2 trabalhos
dia 8 = + 2 trabalhos (total 4)
dia 15 = + 2 trabalhos (total 6)
...
dia 729 = + 2 trabalhos (total 210)
Transcorreram dois anos.
dia 736 = + 3 trabalhos (total 213)
dia 743 = + 3 trabalhos (total 216)
dia 750 = + 3 trabalhos (total 219)
...
dia 995 = + 3 trabalhos (total 324)
15) Em um programa de auditório, o participante recebe inicialmente R$ 256,00 e com essa quantia deve fazer sete apostas consecutivas. Em cada aposta, o participante perde ou ganha a metade da quantia que possui no momento. Se ele ganhou quatro e perdeu três dessas apostas, pode que, ao final do programa, o participante.
A) terminou com R$108,00.
B) não ganhou nem perdeu dinheiro.
C) saiu com R$ 94,00 a menos do que tinha no início.
D) dobrou a quantia que recebeu no início do programa.
E) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram ganhos e perdas.
Cada vez que ele ganha, ele recebe 1,5 do montante.
Cada vez que ele perde, ele fica com 0,5 do montante.
256 * (3/2)^4 * (1/2)^3
= 256 * (81/16) * (1/8)
= 256 * (81 / 128)
= 2 * 81
= 162
Logo, ele perdeu 94
16) Em uma festa de fim de ano, estão reunidas apenas pessoas de uma mesma família. Entre elas, existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há casamento consanguíneo entre eles, o número mínimo de pessoas para a ocorrência de todas essas relações é:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Fazendo uma análise das relações familiares, há duas relações de níveis verticais:
1) Pai/mãe - filho/filha
2) Tio/tia - sobrinho/sobrinha
E há também duas relações de níveis horizontais.
1) irmão - irmã
2) primo - prima
Dá para definir todas essas relações com 4 pessoas (ou 4 patos :P). Letra A.
17) A soma do 3° termo com o 9° termo da sequência numérica (4, 12, -3, -9, -24,...) em que o 1° termo é 4,é igual a:
a) -101
b) -279
c) 167
d) 299
A sequência segue a regra de multiplicar por 3 e depois subtrair 15. 4, 12, -3, -9, -24, -72, -87, -261, -276. A soma do 3º e 9º termos é igual a -279.
18) O número de maneiras de se dividir um grupo de 12 pessoas em 2 grupos de 2 pessoas, 1 grupo de 5 pessoas e 1 grupo de 3 pessoas é igual a:
A) 83160
B) 42632
C) 53120
D) 64825
E) 75235
Primeiro passo é formar um grupo com cinco pessoas entre 12:
C(12, 5) = 12! / (7!5!) = 792
Restam 7 pessoas para formar um outro grupo com três:
C(7, 3) = 7! / (4!3!) = 35
Restam 4 pessoas para formar um outro grupo com dois:
C(4, 2) = 4! / (2!2!) = 6
Restam 2 pessoas para formar mais um outro grupo com dois:
C(2, 2) = 2! / (2!0!) = 1
Finalmente, é necessário notar que os dois últimos grupos podem ser idênticos, por exemplo, se as pessoas puderem ser representadas por letras, de A a L, pode-se ter esses grupos:
{ABCDE}{FGH}{IJ}{KL}
{ABCDE}{FGH}{KL}{IJ}
Essencialmente, os dois casos são idênticos, visto que os dois últimos grupos possuem as mesma quantidade de integrantes, então só podem ser distinguidos pelas pessoas que os compõem.
Portanto, é necessário dividir o resultado por 2 para anular essa dupla contagem.
Ficamos com:
Total = C(12,5) * C(7, 3) * [C(4,2) * C(2,2)] / 2
Total = 792 * 35 * (6 * 1)/2
Total = 27720 * 3
Total = 83160
19) De um grupo de 10 pessoas, 4 devem ser escolhidas ao acaso para formar uma comissão de 4 pessoas. Entre as pessoas do grupo, estão Pedro e Maria. A probabilidade de que Pedro e Maria NÃO sejam escolhidos para formar a comissão é de:
A) 1/5
B) 2/3
C) 1/3
D) 3/4
E) 4/5
Resolução por meio de conjuntos: Grupos totais = C(10,4) = 10! / (6!4!) = 210
Grupos em que nem Pedro nem Maria fazem parte = C(8,4) = 8! / (4!4!) = 70
Probabilidade = 70 / 210 = 1/3
Resolução por meio de probabilidade:
Y = Maria faz parte do grupo, ~M = Maria não faz parte do grupo.
X = Pedro faz parte do grupo, ~P = Pedro não faz parte do grupo.
Z = Representa uma pessoa qualquer.
(A) Probabilidade de ambos Maria e Pedro fazerem parte da comissão:
São grupos do tipo (Y, X, Z, Z) em que há 12 permutações possíveis para essa sequência, porque há 4 casas, então P(4) = 4! = 24, mas há dois elementos repetidos {Z, Z}, portanto deve-se dividir 24 por P(2) = 2! = 2. Logo, 24/2=12 permutações possíveis.
P(Y e X) = (1/10) * (1/9) * (8/8) * (7/7) * 12 = 2/15
(B) Probabilidade de Maria fazer parte da comissão, mas Pedro não:
São grupos do tipo (Y, Z, Z, Z) em que há 4 permutações possíveis para essa sequência,
porque P(4)/P(3) = 4!/3! = 4.
P(Y e ~X) = (1/10) * (8/9) * (7/8) * (6/7) * 4 = 4/15
(C) Probabilidade de Pedro fazer parte da comissão, mas Maria não:
São grupos do tipo (X, Z, Z, Z) em que há 4 permutações possíveis para essa sequência.
P(X e ~Y) = (1/10) * (8/9) * (7/8) * (6/7) * 4 = 4/15
(D) Probabilidade de nem Maria nem Pedro fazerem parte da comissão:
São grupos do tipo (Z, Z, Z, Z) em que não há permutações possíveis.
P(~Y e ~X) = (8/10) * (7/9) * (6/8) * (5/7) = 5/15 ou 1/3
Para responder ao enunciado você pode calcular (D) ou então calcular a probabilidade
complementar. (D) = 1 - (A) - (B) - (C).
Claramente, é mais fácil calcular apenas D, mas para fins didáticos demonstrei todas.
20) Jorge e Mário receberam, juntos, um bônus de R$ 1.200,00 por terem ficado nos dois primeiros lugares em vendas no mês de abril. Jorge aplicou a sua parte a 2% a.m., enquanto Mário não resistiu e gastou R$ 400,00, aplicando o restante a 3% a.m. Após 30 dias, eles tinham, juntos, a quantia de R$ 819,00. Sabendo-se que o primeiro colocado recebeu mais que o segundo, então o segundo colocado e o valor que ele tem após 30 dias são, respectivamente,
A) Jorge e R$ 500,00.
B) Jorge e R$ 510,00.
C) Mário e R$ 309,00.
D) Mário e R$ 515,00.
E) Mário e R$ 700,00.
J = valor que Jorge recebeu
M = valor que Mário recebeu
J + M = 1200
J = 1200 - M
Após os gastos e aplicações:
1,02J + 1,03 (M - 400) = 819
1,02J + 1,03M - 412 = 819
1,02J + 1,03M = 1231
Substituindo J por (1200 - M):
1,02 (1200 - M) + 1,03M = 1231
1224 - 1,02M + 1,03M = 1231
0,01M = 7
M = 700
J = 1200 - M
J = 1200 - 700
J = 500
Logo, Mário recebeu o primeiro prêmio no valor de R$ 700,00 e Jorge ficou em segundo lugar com R% 500,00.
Após aplicar, Jorge tinha 500 * 1,02 = 510.
21) Uma determinada fruta quando fresca contém 70% de água e quando seca contém apenas 20% de água. Para produzir 30 kg da fruta seca, a quantidade necessária, em kg, da fruta fresca é
A) 180.
B) 150.
C) 80.
D) 70.
E) 45.
Quando a fruta está seca ela tem 20% de água.
Então, 100kg de fruta seca tem 80kg de polpa e 20kg de água.
100kg de fruta fresca tem 30kg de polpa e 70kg de água.
30kg de fruta seca (enunciado) tem:
30 * 0,2 = 6kg de água.
30 * 0,8 = 24kg de polpa.
A quantidade de polpa é a mesma para a fruta fresca, então temos que encontrar a quantidade de água da fruta fresca (x). Sabe-se que o percentual de água em relação ao peso total da fruta fresca é de 70%. Temos portanto:
Peso da água = x
Peso da polpa = 24 kg
Peso total = peso da água + peso da polpa = x + 24
Percentual de água = x / (peso total)
x / (24 + x) = 0,70
x = 16,8 + 0,7x
0,3x = 16,8
x = 56kg de água.
O peso total é 56 + 24 = 80 Kg.
22) Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão
2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + ... + 2 + 0 + 1 = 2013?
A) 503
B) 1342
C) 2012
D) 2013
E) 2016
2+0+1+3+...+2+0+1=2013
2+0+1+3+...+2+0+1+3=2013+3
2+0+1+3+...+2+0+1+3=2016
O ciclo tem quatro números 2, 0, 1 e 3.
Cada ciclo individual soma 6 , pois 2 + 0 + 1 + 3 = 6.
2016 / 6 = 336 ciclos.
336 * 4 = 1344 números.
O número de sinais é igual à quantidade de números -1.
2+0 → 2 números, 1 sinal,
2+0+1 → 3 números, 2 sinais,
2+0+1+3+...+n → n números, n-1 sinais.
Há 1343 sinais na fórmula que eu criai com os 336 ciclos completos.
Portanto, há 1342 sinais na fórmula original, visto que eu adicionai um para completar o último ciclo.
23) (2005 - CESPE) "Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e simbolizada por P Imagem 023.jpg Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma P Imagem 024.jpg Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informações e na simbolização sugerida, julgue os itens subsequentes."
A) A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado.” é uma tautologia.
P = Meu cliente é culpado
Q = A arma do crime estava no carro.
A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado" pode ser traduzida para simbologia lógica.
(P→Q)→(~Q→~P)
Observe que ~Q→~P (lado direito) é uma transposição, ou equivalência, de P→Q (lado esquerdo), (P→Q)→(~Q→~P)≡(P→Q)→(P→Q). Portanto, os valores lógicos das expressões entre parêntesis sempre serão idênticos.
(V)→(V) = Verdadeiro
(F)→(F) = Verdadeiro.
Logo, trata-se de uma tautologia.
B) A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro.” não é uma tautologia.
CUIDADO!! A questão é do CESPE que não reconhece a existência da disjunção exclusiva. Portanto, nesse caso, deve-se tratar "ou A, ou B" como disjunção inclusiva.
O enunciado pode ser transcrito assim: (P→Q)→(~PvQ)
O enunciado só é falso quando a expressão (P→Q) for verdadeira e a expressão(~PvQ) for falsa.
Por sua vez, a expressão (~PvQ) só é falsa quando P é verdadeiro e Q é falso. Porém, nesse caso (P→Q) também é falso.
Como não há casos em que (P→Q) seja V e (~PvQ) seja F, conclui-se que o enunciado é uma tautologia.
24) Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a
A) 126.
B) 119.
C) 104.
D) 100.
E) 98.
Total de comissões de 5 pessoas escolhidas entre 15:
C(9,5) = 126
Comissões proibidas devido à exigência do enunciado:
1) 3 advogados, 2 secretárias = 1
2) 3 advogados, 2 gerentes = C(4,2) = 6
3) 2 advogados, 3 gerentes = C(3,2) * C(4,3) = 12
4) 1 advogado, 4 gerentes = C(3,1) = 3
5) 2 secretária, 3 gerentes = 4
6) 1 secretária, 4 gerente = 2
Total = 28
Para calcular as comissões proibidas é possível também pensar que são as comissões em que não há advogados, secretárias ou gerentes. Assim, basta remover o específico profissional do total de pessoas presentes e calcular uma comissão de 5 sem os determinados profissionais.
1) Comissões sem advogados = C(6,5) = 6
2) Comissões sem secretárias = C(7,5) = 21
3) Comissões sem gerentes = C(5,5) = 1
Total = 28.
25) 40 balas são distribuídas entre 11 crianças. Podemos afirmar que:
A) Pelo menos 1 criança ganhou 4 balas.
B) Pelo menos 2 crianças ganharam exatamente 5 balas.
C) 8 crianças ganharam 3 balas cada e as outras 3 ganharam 2 balas cada.
D) Pelo menos duas crianças ganharam o mesmo número de balas.
E) Nenhuma criança ficou sem balas
A) Errada, pode ser que dez crianças receberam 1 bala e uma criança recebeu 30.
B) Errada, idem à anterior.
C) Errada, idem à letra A, não dá para saber como as balas foram distribuídas.
D) Certa, você pode ir alterando sucessivamente o número de balas que cada criança recebeu. A primeira recebeu 1 bala, a segunda 2 balas, a terceira 3,... e a décima primeira recebeu 11 balas. O problema é que 1+2+3+...+11 = 66 balas ao todo. Como 66 > 40, então necessariamente alguma criança recebeu o mesmo número de balas que outra.
Mesmo se considerar que alguma criança pode ter ficado sem receber, então 0+1+2+3+...+10=55>40. Mesma lógica.
E) Errada. Dá para dar 2 balas para dez crianças e 20 balas à última criança.
26) (2006 - FCC) Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos e não devolve troco. Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
Solução iterativas, partindo do maior divisor até o menor.
25, 25;
25, 10, 10, 5;
25, 10, 5, 5, 5;
25, 5, 5, 5, 5, 5;
10, 10, 10, 10, 10;
10, 10, 10, 10, 5, 5;
10, 10, 10, 5, 5, 5, 5;
10, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
Existem 10 soluções possíveis.
OBS: Como a máquina não devolve troco, entende-se que possa pagar também usando valores acima de 50. Haveria então infinitas soluções para o problema.
27) (2015 - NC-UFPR)O sistema de segurança de um banco gera, para cada cliente, uma senha de quatro dígitos numéricos distintos. Note que os dígitos das senhas 1234 e 0269 estão em ordem crescente, porém os dígitos das senhas 1233 e 1034 NÃO estão em ordem crescente. Qual é a probabilidade de os dígitos de uma senha aleatoriamente gerada por esse sistema estarem em ordem crescente?
A) 84 / 1680
B) 126 / 3024
C) 210 / 3024
D) 504 / 1000
E) 3024 / 10000
A proporção de senhas de quatro dígitos em ordem crescentes em relação à quantidade de senhas de quatro dígitos distintos é constante para qualquer sistema de dígitos maior ou igual a 4.
Portanto, você pode simplificar o problema drasticamente reduzindo o universo de dígitos de 10 (sistema decimal) para 4 (sistema quaternário).
Suponha que só possa fazer senhas usando os dígitos 0, 1, 2 e 3.
Quantas senhas de dígitos diferentes são possíveis nesse novo universo? P(4) = 4! = 4*3*2 = 24 senhas.
Quantas senhas em que os dígitos estão em ordem crescente? Só uma, 0123.
Então a probabilidade de escolher essa senha entre as 24 é de 1/24.
Multiplica o numerador e o denominador por 126 para obter a resposta: letra B, 126 / 3024.
Para fins didáticos, vamos calcular tudo direitinho com 10 dígitos para obter o mesmo resultado.
Quantas senhas de dígitos distintos são possíveis?
A primeira casa pode conter qualquer um dos 10 dígitos:
10 * _ * _ * _
A segunda casa pode conter qualquer um dos 10 dígitos, exceto o que foi usado na primeira casa:
10 * 9 * _ * _
A terceira casa pode conter qualquer um dos 10 dígitos, exceto os dois que foram usados nas duas primeiras casas:
10 * 9 * 8 * _
A quarta e última casa pode conter qualquer um dos 10 dígitos, exceto os três que foram usados nas casas que a antecederam:
10 * 9 * 8 * 7
De forma mais técnica, existe um arranjo A(10,4) de senhas possíveis.
A(10,4) = 10!/(10-4)!
A(10,4) = 10!/6!
A(10,4) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
A(10,4) = 10 * 9 * 8 * 7
A(10,4) = 5040
Existem quantas senhas diferentes em que os dígitos estão em ordem crescente?
Essa pergunta é difícil. O candidato precisa reconhecer que para qualquer conjunto de quatro dígitos distintos, sempre há uma única possibilidade de colocá-los em ordem crescente. Então trata-se de uma combinação de 4 dígitos entre 10.
Por exemplo:
Para os dígitos 0, 1, 2 e 3 há 24 permutações possíveis, mas apenas na primeira delas os dígitos estão em ordem crescente.
{0123},{0132},{0213},{0232},{0312},{0321},...,{3210}
C(10,4) = 10! / (4!6!)
C(10,4) = (10! / 6!) * (1 / 4!)
C(10,4) = 5040 * (1 / (4*3*2*1))
C(10,4) = 5040 * (1 / 24)
C(10,4) = 5040 / 24
Logo, a chance de escolher uma senha crescente entre as demais é: P(senha) = C(10,4) / A(10,4)
P(senha) = (5040 / 24) / 5040
P(senha) = 1 / 24
P(senha) = 126 / 3024
Finalmente, para enfatizar o que foi dito no inicio do comentário. A proporção C(x,4) / A(x,4) permanece constante para qualquer valor de x ≥ 4. Por isso pode-se resolver a questão com facilidade usando um sistema de 4 dígitos em vez de 10.
28) Um desinfetante concentrado é diluído em água na seguinte proporção: 100 mL de desinfetante para 1,5 litro de água. Se uma empresa de limpeza preparou 12 litros dessa solução (desinfetante + água), a quantidade de desinfetante concentrado utilizada, em litros, foi
A) 0,45
B) 0,50
C) 0,60
D) 0,75
E) 0,85
A solução da receita tem 1500 mL de água e 100 mL de desinfetante. Ao todo tem 1600 mL.
A razão entre a solução preparada de 12L e a da receita de 1,6L é:
= 12000 / 1600
= 15/2
Se na receita tem 100 mL de desinfetante, na mistura de 12L tem 15/2 dessa quantidade.
100*(15/2) = 750 mL
A solução conta 0,75 L de desinfetante.
29) O salário médio nacional dos trabalhadores de certa categoria é igual a 4 salários mínimos, com desvio padrão de 0,8 salários mínimos. Uma amostra de 25 trabalhadores dessa categoria é escolhida ao acaso em um mesmo estado da União. O salário médio da amostra é de salários mínimos. Deseja-se testar com nível de significância igual a 10%
H0: μ = 4
contra
H1: μ # =4
Considerando esses dados, analise as afirmativas.
I – O teste rejeitará H0 se μ for igual a 4,30.
II – O teste rejeitará H0 se μ for igual a 4,20.
III – O teste não rejeitará H0 μ se for igual a 3,75.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s):
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e II.
E) I e III.
z = (μ - 4) / (0,8 / √25)
Se z for menor -1,645 ou maior que 1,645
±1,645 = (μ - 4) / (0,8 / √25)
|1,645| = |(μ - 4) / (0,8 / √25)|
1,645 = |(μ - 4) / (0,8 / 5)|
1,645 = |(μ - 4) / (0,16)|
0,2632 = |(μ - 4)|
μ = 4,2632 ou 3,7368
I - Verdadeira. Pois se μ for igual a 4,3 então encontramos um resultado improvável.
II - Falso. Para rejeitar H0 temos que encontrar μ > 4,2632 ou μ < 3,7368
III - Verdadeira.
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