Principais conectivos
Os conectivos lógicos unem as proposições simples.Os principais conectivos são: "não", "e", "ou", "se..., então", "ou..., ou...", e "se e somente se".
Todos podem ser expressos por símbolos.
Conectivo | Nome | Símbolo usado | Símbolos alternativos |
---|---|---|---|
Não | Negação | ~ | ¬, N (prefixo), barra superior ([tex]\bar{P}[/tex]) |
E | Conjunção | ^ | K (prefixo), & , ∙ |
Ou | Disjunção | ∨ | A (prefixo) |
Se..., então... | Condicional (implicação) | → | C (prefixo), [tex]\Rightarrow[/tex], [tex]\supset[/tex] |
Se e somente se | Bicondicional | ↔ | E (prefixo), [tex]\Leftrightarrow[/tex], ≡, = |
Ou..., ou | Disjunção exclusiva | ⊕ | ⊻, ↮, ≢ |
O valor lógico das proposições compostas vai depender:
- Do valor lógicos das proposições simples que a integram;
- Do conectivos usados para juntar as proposições simples.
Tabela Verdade
A tabela verdade elenca os valores de expressões lógicas baseado nas proposições simples que as compõem.Considere as proposições simples P e Q. Para duas proposições simples, há 4 combinações de valores possíveis:
- P = V e Q = V
- P = V e Q = F
- P = F e Q = V
- P = F e Q = F
Exemplo de tabela verdade para duas proposições simples P e Q e os principais conectivos lógicos:
P | Q | ~P | ~Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q | P ↔ Q | P ⊕ Q |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
V | V | F | F | V | V | V | V | F |
V | F | F | V | F | V | F | F | V |
F | V | V | F | F | V | V | V | F |
F | F | V | V | F | F | V | F | V |
Negação
A negação inverte o valor lógico da proposição. A proposição verdadeira se torna falsa; e a proposição falsa se torna verdadeira. Pode ser usando em proposições simples ou compostas, mas o resultado é diferente.(~P v ~Q) ≠ ~(P v Q)
Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Vanessa não gosta de maçã.
P = Vanessa gosta de maçã;
~P = Vanessa não gosta de maçã.
Q = Marcos joga basquete3) Camila jamais fumou.
~Q = Marcos nunca joga basquete
R = Camila fuma
~R = Camila jamais fumou.
Conjunção
Uma conjunção só é verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras. Um proposição falsa vai "contaminar" a expressão composta e o resultado será falso. Considerando as proposições simples P, Q, R, S e T, a expressão (P ^ Q ^ R ^ S ^ T) será falsa se uma ou mais proposições simples forem falsas, como por exemplo, se S for falso.(V ^ V ^ V ^ F ^ V) = F.
Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Jonas vai ao cinema e Marta vai à praia.
P = Jonas vai ao cinema;
Q = Marta vai à praia;
P ^ Q = Jonas vai ao cinema e Marta vai à praia.
R = Luciana gosta de Rock;
S = Luciana gosta de Nickleback;
R ^ ~S = Luciana gosta de Rock, mas não gosta de Nickleback
Disjunção
Uma disjunção só é falsa quando todas as proposições simples forem falsas. De forma semelhante à conjunção, uma proposição verdadeira vai "contaminar" a expressão e o resultado será verdadeiro. Considerando as proposições simples P, Q, R, S e T, a expressão (P v Q v R v S v T) será verdadeira se uma ou mais proposições simples forem falsas, como por exemplo, se R for verdadeiro.(F v F v V v F v V) = V.
Exemplos de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Sofia quer um chocolate amargo ou ao leite.
P = Sofia quer um chocolate amargo;
Q = Sofia quer um chocolate ao leite;
P v Q = Sofia quer um chocolate amargo ou ao leite.
R = Emiliano come Doritos;
S = Emiliano joga Overwatch;
R v S = Emiliano come Doritos ou joga Overwatch
Condicional
A condicional só é falsa quando a proposição antecedente é verdadeira e a consequente é falsa. A ordem importa. Quando aparecer em sequência deve ser resolvida da direita para esquerda.A condicional suscita dúvida quando o antecedente é falso. Nesse caso, o valor lógico do consequente não importa, pois a expressão será sempre avaliada como verdadeira. Por quê? Porque é natural assumir que uma premissa ou conclusão seja verdadeira até provar o contrário. Considere a seguinte afirmação:
"Se chove, então o pátio está molhado."
Considere também as quatro hipóteses possíveis:
- Choveu e o pátio está molhado
- Choveu e o pátio não está molhado
- Não choveu e o pátio está molhado
- Não choveu e o pátio não está molhado
A segunda hipótese vai de encontro à afirmação. É o único caso em que P→Q será falso, pois P é verdadeiro e Q é falso.
A terceira hipótese não invalida a afirmação, porque o pátio pode estar molhado por outras razões além da que foi declarada. É uma falácia comum concluir a partir da afirmação inicial que "se o pátio está molhado, então choveu". Chama-se "falácia da afirmação do consequente".
A quarta hipótese não permite conclusões que contrariem a afirmação inicial. Afinal de contas, se não choveu, como provar que a afirmação está errada?
Por isso a condicional só é falsa quando (Verdadeiro→Falso), condição representada na segunda hipótese descrita acima.
Condição Suficiente e Condição Necessária
Muitas vezes você vai encontrar os termos "condição suficiente" e "condição necessária" para descrever respectivamente as proposições simples antecedente e consequente que compõem a condicional.
Considere a condicional P→Q.
- P é condição suficiente para Q. Porque se P ocorreu, então Q será desencadeado.
- Q é condição necessária para P. Porque é necessário que Q ocorra para que P tenha ocorrido. Isto é, se Q não ocorreu, então com certeza P tampouco.
1) Se Sabrina é inteligente, então ela é a candidata perfeita.
P = Sabrina é inteligente;
Q = Sabrina é a candidata perfeita;
P → Q = Se Sabrina é inteligente, então ela é a candidata perfeita.
R = Meu pai é rei;3) Quando der dezesseis horas, tomaremos chá.
S = Eu sou príncipe;
R → S = Se meu pai é rei, então eu sou príncipe. (Atente para a relação de causa e consequência)
4) Todas as mulheres são bonitas.T = É dezesseis horas;
U = Nós tomamos chá;
T → U = Se é dezesseis horas, então tomamos chá.
V = É mulher;
W = É bonita;
V → W = Se é mulher, então é bonita.
Bicondicional
A bicondicional é verdadeira quando há uma quantidade par de proposições simples falsas.A expressão (P↔Q↔R↔S↔T) será verdadeira se:
- Todas as 6 proposições simples forem falsas (zero é par);
- Exatamente duas proposições simples forem falsas (dois é par);
- Exatamente quatro proposições simples forem falsas (quatro é par);
- Todas as 6 proposições simples forem falsas (seis é par).
(P↔Q)≡(P→Q)^(Q→P)
Exemplo de tradução da linguagem oral para a simbologia lógica:
1) Gabriel aciona o alarme se, e somente se, houver incêndio.
2) Eduardo vai à praia desde que Mônica vá também.P = Gabriel aciona o alarme;
Q = Há incêndio;
P ↔ Q = Gabriel aciona o alarme se, e somente se, houver incêndio.
R = Eduardo vai à praia;
S = Mônica vai à praia;
R ↔ S = Eduardo vai à praia se, e somente se, Mônica for também.
Disjunção Exclusiva
A disjunção exclusiva é verdadeira quando há uma quantidade ímpar de proposições simples verdadeiras.A expressão (P⊕Q⊕R⊕S⊕T) será verdadeira se:
- Exatamente uma proposição simples for verdadeira (um é ímpar);
- Exatamente três proposições simples forem verdadeiras (três é ímpar);
- Exatamente cinco proposições simples forem verdadeiras (cinco é ímpar).
1) Ou estudo português, ou estudo inglês, mas não ambos.
P = Estudo português;2) Ora Carolina vai ao mercado, ora pede pizza para entrega.
Q = Estudo inglês.;
P ⊕ Q = Ou estudo português, ou estudo inglês.
R = Carolina vai ao mercado;3) Jaime é inocente, ou então não me chamo Sherlock Holmes.
S = Carolina pede pizza para entrega;
R ⊕ Q = Ora Carolina vai ao mercado, ora pede pizza para entrega.
T = Jaime é inocente;
U = Eu me chamo Sherlock Holmes;
T ⊕ U = Jaime é inocente, ou então não me chamo Sherlock Holmes.
CUIDADO COM AS TRADUÇÕES!!
As traduções da linguagem para simbologia lógica não seguem regras rígidas. Por exemplo, é comum em provas de concursos traduzirem frases como "João dorme ou estuda" como disjunção inclusiva porque não há um segundo "ou" no início da frase. O senso comum nos diz que é impossível João dormir e estudar ao mesmo tempo e, portanto, seria melhor representado por uma disjunção exclusiva. O melhor a fazer diante de casos semelhantes é checar as alternativas. Caso seja prova de verdadeiro ou falso, assuma que é uma disjunção inclusiva.Atenção também se for prestar prova do Cespe, porque a banca não reconhece a existência da Disjunção Exclusiva. É um absurdo, mas para o Cespe "Ou estou em Roma, ou estou em Paris" é uma disjunção inclusiva. A Cespelândia é um universo regido por regras quânticas em que pessoas podem estar em dois lugares ao mesmo tempo. :)
Quantas linhas tem uma Tabela Verdade?
Depende do número de proposições simples. Se houver n proposições simples, então haverá [tex]2^{n}[/tex] linhas na tabela excluindo o cabeçalho.Então, 2 proposições simples rendem [tex]2^{2}= 4 [/tex] linhas.
Três proposições simples rendem [tex]2^{3}= 8 [/tex] linhas.
Quatro proposições simples rendem [tex]2^{4}= 16 [/tex] linhas e assim por diante.
Visualização por conjuntos
Os conectivos podem ser representados por conjuntos. A negação equivale ao conjunto complementar, a conjunção equivale à interseção, a disjunção equivale a união.P
Q
~P
~Q
P ∧ Q
P ∨ Q
P → Q
P ↔ Q
P ⊕ Q