30 Questões comentadas avulsas 02 (para organizar mais tarde)

Q) Duas pessoas que sabiam lógica, um estudante e um garçom, tiveram o seguinte diálogo numa lanchonete:
Garçom : O que deseja?
Estudante : Se eu comer um sanduíche então não comerei salada, mas tomarei sorvete.

A situação que torna a declaração do estudante FALSA é:
A) O estudante não comeu salada, mas tomou sorvete
B) O estudante comeu sanduíche, não comeu salada e tomo sorvete
C) O estudante não comeu sanduíche
D) O estudante comeu sanduíche, mas não tomou sorvete
E) O estudante não comeu sanduíche, mas comeu salada

P = Comer sanduíche
Q = Comer salada
R = Tomar sorver

Enunciado:
P → (~Q ^ R)

Negação = ~[P → (~Q ^ R)]
Implicação Material = ~[~P v (~Q ^ R)]
Teorema de DeMorgan = P ^ ~(~Q ^ R)
Teorema de DeMorgan = = P ^ (Q v ~R)

Será falsa quando o estudante comer sanduíche, porém, comer salada ou não tomar sorvete.

A penúltima assertiva está correta.

Q) I. Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa.

II. Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas.

III. A negação transforma a conjunção em condicional e o condicional em conjunção.

Está(ão) CORRETA(S):
a) As afirmações I e III.
b) As afirmações I e II.
c) As afirmações II e III.
d) Todas as afirmações.

I: Duas preposições são ao mesmo tempo verdadeiras = {V, V}.
Para negar, basta que pelo menos uma seja falsa, ou seja = {V, F} ou {F, V} ou {F, F}

II. Pelo menos uma de duas proposições é verdadeira significa que é um dos caso = {V, V} ou {V, F} ou {F, V}.
Para negar é necessário que ambas sejam falsas = {F, F}

III. A negação não transforma a conjunção (E) em condicional (se..., então...).
tabelas verdade padrão para duas variáveis:
Conjunção: {V, F, F, F}
Negação da conjunção: {F, V, V, V}
Condicional: {V, F, V, V}
Negação: {F, V, F, F}

Elas possuem uma relação, mas não é tão direta quanto afirmar que a negação de uma é equivalente à outra.
~(P ^ ~Q) ≡ P → Q

Q) Sabendo-se que a proposição "Antônio é médico, ou João não é engenheiro, ou Maria não é advogada" é falsa, então é verdade que:
A) Se Antônio não é médico, então João não é engenheiro, e se João é engenheiro, então Maria é advogada.
B) Se Antônio é médico, então João é engenheiro, e se Maria é advogada, então Antônio é médico.
C) Se Antônio não é médico, então Maria é advogada, e se Maria não é advogada, então João é engenheiro.
D) Se Maria é advogada, então João é engenheiro e Antônio é médico.
E) Se João é engenheiro, então Maria não é advogada e Antônio não é médico.

Como se trata de uma disjunção inclusiva (OU) o enunciado só é falso quando todas as proposições simples forem falsas. Conclui-se que:
- Antônio não é médico (~A)
- João é engenheiro (J)
- Maria é advogada (M)

Substituindo esses valores em cada uma das assertivas encontra-se o gabarito na letra C:
A) (~A→~J)^(J→M)
= (V→F) ^ (V→V)
= F ^ V
= F

B) (A→J)^(M→A)
= (F→V)^(V→F)
= V ^ F
= F

C) (~A→M)^(~M→J)
= (V→V)^(F→V)
= V ^ V
= V

D) M→(J^A)
= V→(V^F)
= V→F
= F

E) J→(~M^~A)
= V→(F^V)
= V→F
= F

Ou pela tabela verdade se você tiver tempo de sobra:


Q) No lançamento simultâneo de dois dados com as faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de se obter faces voltadas para cima cuja soma seja menor que 5 ou maior que 10 é igual a:
A) 15%.
B) 20%.
C) 25%.
D) 30%.
E) 35%.
Ao todo, há 36 resultados possíveis ao se lançar dois dados de 6 lados, sendo que há 6 possíveis lançamentos em que a soma é menor que 5:
(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1,3) e (3,1).

Há 3 possíveis lançamentos em que a soma é maior que 10:
(6,6), (6,5) e (5,6).

A probabilidade de se obter faces voltadas para cima cuja soma seja menor que 5 ou maior que 10 é igual a (6 + 3)/36 = 9/36 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Q) Sejam os conjuntos A = {2, x, 9, y}, B = {2, 6, x, 11} e C = {1, 4, 7, y}.
Considere que os números dos conjuntos estão representados em ordem crescente e, ainda, que B ∩ C = {x, y}. Assim, a soma dos elementos do conjunto A ∩ B é igual a:
A) 16.
B) 17.
C) 18.
D) 19.
E) 20.
Se os números estão em ordem crescente, então x está entre 3 e 8 em A e está entre 7 e 10 em B. Logo, x é igual a 7 ou 8.

Como a B ∩ C = {x, y}, então x está em C também e y está em B.
Conclui-se que:
-x é igual 7.
-y é igual a 11.

A = {2, 7, 9, 11}
B = {2, 6, 7, 11}

A ∩ B = {2, 7, 11}
Soma = 2+ 7 + 11 = 20

Q) Considere o problema seguinte: Dividir R$ 448,00 entre duas crianças, uma com 7 anos e a outra com 9 anos. Cada uma delas deverá receber uma quantia diretamente proporcional à sua respectiva idade.
A) R$ 196, 00 e 252, 00
B) R$ 296, 00 e 152, 00
C) R$ 116, 00 e 272, 00
D) R$ 146, 00 e 242, 00
Eu acho intuitivo pensar que 448 pode ser dividido em duas parcelas proporcionais às idades das crianças. O valor da parcela é constante e igual a x.
Então:
7x + 9x = 448
16x = 448
x = 448/16 = 224/8 = 112/4 = 56/2 = 28
x = 28

Criança de 7 anos receberá 7 * x = 7 * 28 = R$ 196,00
Criança de 9 anos receberá 9 * x = 9 * 28 = R$ 252,00
Q) Considere a sequência:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ..., 50, 50, 50, 50, 50.
Quantos termos possui esta sequência?
A) 1.150.
B) 1.225.
C) 1.250.
D) 1.275.
E) 1.350.

O número de termos segue a relação com o algarismo representado: Um 1, dois 2, três 3, quatro 4, etc.
Número de termos: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Para encontrar o resultado dessa soma, usa-se o seguinte artifício:
Duplique a soma e coloque os termos de trás para frente:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50
50 + 49 + 48 + 47 + ... + 1

Some os termos das duas sequências sucessivamente para obter o resultado:
51 + 51 + 51 + 51 + ... + 51

Quantas vezes o número 51 aparece nesse resultado? 50 vezes.
Então 51 + 51 + 51 + 51 + ... + 51 = 50 * 51 = 2550.

Essa nova sequência foi criada duplicando a sequência original, logo o somatório da sequência original é 2550 / 2 = 1275.

Q)(2002 - ESAF - AFC) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
A) R$ 220,00
B) R$ 204,00
C) R$ 196,00
D) R$ 188,00
E) R$ 180,00
Faz de trás pra frente.
Ele ficou com 8,00.
Devolveu 2,00 ao 4º estacionamento e ficou com 10,00.
Ressarciu 10,00 na quarta loja e ficou com 20,00.

Recebeu 2,00 do 3º estacionamento e ficou com 22,00.
A terceira loja dobrou o dinheiro dele para 44,00.

Segundo estacionamento e loja:
44 + 2 = 46,00,
46 * 2 = 92,00

Primeiro estacionamento e loja:
92 + 2 = 94,00
94 * 2 = 188,00.

Ou coloca tudo em uma equação:
[tex]\frac{\frac{\frac{\frac{x}{2}-2}{2}-2}{2}-2}{2}-{2}=8[/tex]

[tex]x = 2^{7} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2}[/tex]
[tex]x = 128 + 32 + 16 + 8 + 4[/tex]
[tex]x = 188[/tex]

Q) Clóvis comprou 2 calças e 3 bermudas por R$ 338,40. Sabe-se que cada bermuda custou o equivalente a 2/3 do valor de cada calça. Se Clóvis tivesse comprado 1 calça e 2 bermudas teria pago?
A) R$ 174,90
B) R$ 197,40
C) R$ 202,60
D) R$ 226,20
É um sistema de equações:
2c + 3b = 338,40
b = (2/3)c

É só substituir o valor de b da segunda equação na primeira e obter o valor individual de cada calça = 84,6.

Q) O padrão de formação da sequência a seguir pode ser descoberto observando os algarismos do termo anterior. 5555, 5610, 5626, 5652, 5708, 5715, 5732, ... Seja uma sequência que tenha o mesmo padrão de formação da anterior e que comece com o número 1551, o próximo número ímpar dessa sequência será o:
A) 1715.
B) 1727.
C) 1733.
D) 1749.
E) 1751.
A sequência é uma soma dos dois dígitos do meio do número anterior na ordem inversa. Então para 1551 ficaria:
1551 + 55 = 1606
1606 + 06 = 1612
1612 + 16 = 1628
1628 + 26 = 1654
1654 + 56 = 1710
1710 + 17 = 1727
Q) (2004 - ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina.
Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
No lapso de 180 segundos (3 minutos) Marco e Mauro se encontrariam 5 vezes e teriam voltado à posição original.
Como 12 minutos é quatro vezes 3 minutos, então em 12 minutos Marco e Mauro terão se encontrado quatro vezes 5, ou seja, 20 vezes.

Q) As páginas de um livro, cujas somas dos algarismos é igual a 10, não possuem texto. Se o livro tem 80 páginas, quantas são as páginas com texto?
A) 71.
B) 72.
C) 73.
D) 74.

As páginas que não possuem texto são as páginas de número:
19
28
37
46
55
63
73
Como há 7 páginas sem texto, o livro possui 73 páginas com texto.

Q)(2008 - CESPE - SEBRAE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa
(F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo:
(1) Você sabe dividir? — perguntou Ana.
(2) Claro que sei! — respondeu Mauro.
(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — perguntou Ana.
(4) O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta.
(5) Está errado! Você não sabe dividir. — respondeu Ana.
A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue.
I. A sentença (5) é F.

Onze milhares, onze centenas e onze é igual a 11.000 + 1.100 + 11 = 12.111.
Há uma forma fácil de descobrir se um número é divisível por três. Basta somar os dígitos. Se a soma for divisível por três, então o número também será.
Ela mencionou três vezes onze, como a soma dá 6 (1+1+1+1+1+1), logo o número dela é divisível por três.
12111/3 é 4037. Resto zero.
A sentença cinco é verdadeira, pois Mauro não respondeu corretamente ao desafio de Ana. Portanto, o inciso I está errado.

Q) No dia da realização de um concurso público, a empresa realizou uma pesquisa com 300 candidatos. Desses, 120 tinham idade até 25 anos.
Além disso, em 90 casos, o candidato pertencia à Região Nordeste, e 200 responderam pelo menos uma dessas 2 situações.
Pode-se afirmar que menos de 15 candidatos responderam que tinham 25 anos ou menos e eram da Região Nordeste.

Observe que 120 pessoas responderam que tinham 25 anos ou menos e que 90 pessoas responderam que pertenciam à região Nordeste.
Se 200 pessoas responderam a pelo menos uma dessas duas questões, então a interseção de 120+90 com 200 é igual a 10 pessoas que responderam ambas.
Portanto, 10 pessoas de 25 anos ou menos pertencem à região Nordeste confirmando a afirmação do enunciado.

Q) Considerando a proposição P: “Quando eu chegar em casa, vou almoçar e estudar um pouco”, julgue os itens a seguir.
Caso a proposição “Vou almoçar” seja verdadeira, então, independentemente do valor lógico das outras proposições, a proposição P será verdadeira.

A proposição P é composta por três proposições, sejam:
Q: Quando eu chegar em casa
R: vou almoçar
S: vou estudar um pouco.
Pode ser escrita com a seguinte simbologia:
Q→(R ^ S) Como R e S estão conectadas por uma conjunção (E), então a proposição P só é verdadeira quando pelo menos uma das duas condições forem cumpridas:

• Q for falso;
• Ambos R e S forem verdadeiros.

Não basta que R, "vou almoçar", seja verdadeiro como informa o enunciado.

Q) Considerando a proposição P: “Quando eu chegar em casa, vou almoçar e estudar um pouco”, julgue os itens a seguir.
A negação da proposição “Vou almoçar e estudar um pouco” pode ser corretamente expressa por “Se eu almocei, então não estudei um pouco”.

Enunciado: R ^ S
Negação: ~(R ^ S).
Pelo teorema de DeMorgan, essa negação equivale a: ~R v ~S.
Pela implicação material equivale a: R→~S.
Você pode confirmar por meio da tabela verdade.

R	S	R^S	~(R^S)	~S	R→~S
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	V	V
F	V	F	V	F	V
F	F	F	V	V	V

Q) Toda proposição da forma (P→Q)v(~Q) tem somente valores lógicos V.

Caso você seja familiarizada com os valores lógicos dos principais conectivos (e, ou, se..., então), então fica fácil.
A parte da esquerda diz "se P, então Q" e só é falsa quando P for V e Q for F.
Quando Q é F, "não Q" (parte da direita) é V. Ou seja, sempre que a (P→Q) for falso, (~Q) será verdadeiro e como (F ou V) é Verdadeiro, segue que a proposição é uma tautologia.

Tabela verdade:

P	Q	P→Q	~Q	(P→Q)v(~Q)
V	V	V	F	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Q) (2012 - FCC - TRF 2ª Região - Técnico Judiciário) Uma operação λ é definida por:
[tex]w^{λ}=1-6w[/tex], para todo inteiro w.
Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma [tex]2^{λ}+(1^{λ})^{λ}[/tex] é igual a:
A) -20
B) -15
C) -12
D) 15
E)20
Se [tex]w^{λ}=1-6w[/tex]
Então:
[tex]2^{λ}=1-6(2)=1-12=-11[/tex]
[tex]1^{λ}=1-6(1)=1-6=-5[/tex]
[tex](-5)^{λ}=1-6(-5))=1+30=31[/tex]

Substituindo cada resultado na equação original:
[tex]2^{λ}+(1^{λ})^{λ}[/tex]
[tex]= -11 + 31[/tex]
[tex]= 20[/tex]

Q)Considere a seguinte afirmação: “Um político não pode ganhar as eleições se ele não tem muito dinheiro”. A NEGAÇÃO dessa afirmação é:
A) Um político pode ganhar as eleições e não ter muito dinheiro.
B) Um político não pode ganhar as eleições se ele tem muito dinheiro.
C) Nenhum político pode ganhar as eleições sem muito dinheiro.
D) Um político que tem muito dinheiro não pode ganhar as eleições.

Enunciado: ~P → ~Q
P = Um político tem muito dinheiro
Q = Ele pode ganhar as eleições

Negação: ~(~P → ~Q)
Implicação Material: ~(P v ~Q)
Teorema de DeMorgan: ~P ^ Q
Regra Comutativa: Q ^ ~P

Tabela Verdade:


Q) Um paciente tem que tomar uma medicação A quatro vezes ao dia, outra medicação, B, três vezes ao dia, e uma terceira medicação, C, duas vezes ao dia, todas elas em intervalos constantes de tempo entre um comprimido e outro de cada medicação. Suponha que, em certo dia e em determinado horário, esse paciente tenha tomado essas 3 medicações ao mesmo tempo, e que, a partir desse horário, ele tenha obedecido corretamente à prescrição médica, durante um mês. Suponha também que, naquele dia e horário, ele tivesse iniciado uma caixa de cada medicação A, B e C, que são comercializadas com 30, 25 e 20 comprimidos, respectivamente. Nessas condições, antes de esse paciente iniciar outra caixa de um desses medicamentos por ter terminado a caixa anterior, o número máximo de vezes que ele teria tomado os 3 remédios ao mesmo tempo seria:
A)6
B)7
C)8
D)12
E)14

Ele vai tomar a vitamina A de 6 em 6 horas.
Vai tomar B de 8 em 8.
Vai tomar C de 12 em 12.
Os comprimidos da caixa A vão acabar após 180 horas.
Da B após 200 horas.
Da C após 250 horas.

Como A acabará mais rápido. Então após 180 horas termina o prazo.

O Menor Múltiplo Comum de 6, 8 e 12 é 24.
180 / 24 = 7 inteiros e uns decimais que não interessam.

Ao todo são 7 vezes que ele tomará os três remédios ao mesmo tempo após a primeira dosagem. Totalizando 8.

Q) Não é possível avaliar como V a proposição (A→B)^A^(Cv~Av~C).

Na minha opinião, é mais fácil usar as equivalências lógicas.
C v ~A v ~C é uma tautologia já que C v ~C é sempre verdadeiro. Aí pouco importa o valor de ~A.

(A → B) ^ A ^ Verdadeiro
= (A → B) ^ A

Se A e B forem verdadeiros, então a preposição é verdadeira.

Segue tabela verdade:


Q)

A partir dos argumentos apresentados pelo personagem Calvin na tirinha acima mostrada, julgue o seguinte item.
Considere que o argumento enunciado por Calvin na tirinha seja representado na forma:
“P: Se for ignorante, serei feliz;
Q: Se assistir à aula, não serei ignorante;
R: Serei feliz;
S: Logo, não assistirei à aula",
em que P, Q e R sejam as premissas e S seja a conclusão, é correto afirmar que essa representação constitui um argumento válido.

Não, porque "ser ignorante" é condição suficiente para "ser feliz", mas não é condição necessária.
Da mesma forma, "não assistir à aula" não é condição necessária para "não ser ignorante".
Dada as premissas é possível:
1) Não assistir à aula
2) Não ser ignorante
3) Ser feliz

Portanto, "não assistir à aula" não é uma conclusão que deriva das premissas.

Q) Num determinado setor de um hospital trabalham 8 médicos. O diretor do hospital deseja formar uma junta médica com 3 profissionais desse setor. O número de juntas distintas que podem ser formadas é:
A) 24
B) 28
C) 56
D) 72
E) 112
É uma combinação de 3 médicos entre 8 porque a ordem em que são escolhidos não importa. Se a ordem fosse importante, seria uma permutação.
Se os médicos puderem ser representados pelo conjunto {A,B, C, D, E, F, G, H}, as permutações {ABC}, {ACB}, {BAC}, {BCA}, {CAB} e {CBA} devem ser contadas como uma só! E não como 6 casos distintos.
Combinação de 3 médicos entre 8.
[tex]C\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}[/tex]

[tex]C\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}[/tex]

[tex]C\binom{8}{3}=\frac{8*7*6*5*4*3*2}{3*2*5*4*3*2}[/tex]

[tex]C\binom{8}{3}=\frac{8*7*6*5*4*3*2}{6*5*4*3*2}[/tex]

[tex]C\binom{8}{3}=8*7[/tex]

[tex]C\binom{8}{3}=56[/tex]

Q) A proposição ~(AvB) → (~AvB) é uma tautologia.

Uma proposição do tipo P→Q só é falsa quando P for Verdadeiro e Q for Falso.
Se P for ~(AvB) e Q for (~AvB), então, ~(AvB) → (~AvB) é falsa apenas quando:
1) ~(A v B) for Verdadeiro; e
2) (~A v B) for Falso.

~(A v B) por sua vez só é verdadeiro quando A e B forem Falsos.

Logo, o enunciado fica assim:
~(A v B) → (~A v B)
~(Falso v Falso) → (~Falso v Falso)
~(Falso) → (Verdadeiro v Falso)
Verdadeiro → Verdadeiro
Verdadeiro.

Conclui-se portanto que a expressão é uma tautologia.

Q) A sentença "Se bebo, então não dirijo" apresenta um argumento válido.

Um argumento é válido quando a conclusão deriva da premissa. Outra condição para o argumento ser válido é que a conclusão seja verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras.
A sentença "Se bebo, então não dirijo" não é um argumento válido, pois não cumpre o primeiro requisito citado, a conclusão não deriva da premissa.

Q) (2016 - FUNRIO - IF-BA - Administrador) A soma de dois números naturais é 30. Quantas soluções existem para este problema se um desses números é múltiplo do outro?
A)5
B)6
C)7
D)8
E)9
Seguem todas as somas possíveis de dois números naturais que igualam 30. Marquei com asteriscos os casos em que os dois números são múltiplos. 0 + 30*
1 + 29*
2 + 28*
3 + 27*
4 + 26
5 + 25*
6 + 24*
7 + 23
8 + 22
9 + 21
10 + 20*
11 + 19
12 + 18
13 + 17
14 + 16
15 + 15*

Existem 8 soluções distintas.
OBS: O gabarito oficial foi a letra C. Acho que o examinador não considerou 0 + 30, mas zero é um número natural e é múltiplo de todos os números naturais

Q) Laura tem 6 caixas numeradas de 1 a 6, cada uma contendo alguns cartões. Em cada cartão está escrita uma das seis letras da palavra BRASIL. A Figura ilustra a situação:

Laura retirou cartões das caixas, um de cada vez, de modo que, no final, sobrou apenas um cartão em cada caixa, sendo que, em caixas diferentes, sobraram cartões com letras diferentes.
O cartão que sobrou na caixa de número 4 foi o que contém a letra:
A) L
B) B
C) S
D) I
E) A

Resolve-se por eliminar as letras de forma sequencial.
-A caixa 3 já tem uma letra só, um R. Como ao final nenhuma caixa tinha letras iguais, então elimine a letra R de todas as demais.
1) B A S
2) B A S I L
3) R
4) B A S L
5) A S
6) A

- Resultado: A caixa 6 vai ficar com uma só letra, um A. Elimine a letra A de todas as demais caixas.
1) B S
2) B S I L
3) R
4) B S L
5) S
6) A

- Agora a caixa 5 ficou só com um S. Remova a letra S das demais caixas
1) B A S
2) B A S I L
3) R
4) B A S L
5) A S
6) A

- Resultado: A caixa 1 vai ficar com uma só letra, um B. Elimine a letra B de todas as demais caixas.
1) B
2) B I L
3) R
4) B L
5) S
6) A

-Olha quem ficou isolado na caixa quatro:
1) B
2) I L
3) R
4) L
5) S
6) A
Resposta: L

Q) Dispomos de 168 rosas brancas e 140 rosas vermelhas. Se quisermos fazer ramalhetes contendo rosas brancas e vermelhas, qual o maior número de ramalhetes e quantas rosas de cada cor cada um poderá conter? (Não sobram rosas)

Se for necessário que os ramalhetes sejam todos iguais, então a reposta é o Maior Divisor Comum de 140 e 168.
Fatoração por números primos:
140 = 2*2*5*7
168 = 2*2*2*3*7
2*2*7 é capaz de dividir ambos os número, portanto é possível fazer 28 ramalhetes cada um com 5 rosas vermelhas e 6 rosas brancas.

Se os ramalhetes puderem ser diferentes, então a resposta é 140 ramalhetes, sendo 112 na proporção 1:1 e 28 na proporção 2:1 de rosas brancas e vermelhas respectivamente.

Q) Um paciente é diagnosticado com uma determinada doença se apresentar pelo menos dois dentre os sintomas (X, Y e Z).
Foram realizados exames em duzentos pacientes e os seguintes resultados foram obtidos:
I –80 pacientes não apresentaram nenhum dos três sintomas;
II -70 pacientes apresentaram o sintoma X;
III -90 pacientes apresentaram o sintoma Y;
IV -20 apresentaram apenas o sintoma Z;
V -10 pacientes apresentaram os três sintomas simultaneamente.
No mínimo, quantos desses duzentos pacientes serão diagnosticados com a referida doença?
A)10.
B)20.
C)30.
D)50.
E)60.


X + Y + Z - (XY + XZ + YZ) + XYZ + nenhum = 200
70 + 90 + 20 - (XY + XZ + YZ) + 10 + 80 = 200
-(XY + XZ + YZ) + 10 = 200 - 70 - 90 - 20 - 80
-(XY + XZ + YZ) + 10 = -60
(XY + XZ + YZ) - 10 = 60
60 pacientes diagnosticados com a referida doença.

Q)Em um número N de três algarismos, o algarismo das unidades é uma unidade maior do que o algarismo das dezenas. Por sua vez, o algarismo das dezenas é uma unidade maior do que o algarismo das centenas. Se N é divisível por 12, a soma de seus algarismos é igual a:
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24

Um número múltiplo de 12 é par.
Há só três opções para serem testadas com dígito par na casa das unidades:
234
456
678

A soma de cada uma dessas opções é:
2 + 3 + 4 = 9 (não está nas respostas)
4 + 5 + 6 = 15
6 + 7 + 8 = 21

Finalmente é só verificar quais das duas hipóteses restantes é divisível por 12.
456 / 12 = 228 / 6 = 114 / 3 = 38 (divisível), logo 15 é a resposta.
678 / 12 = 339 / 6 = 113 / 2 (indivisível).

30 Questões comentadas avulsas (para organizar mais tarde)

1) Uma empresa tem três qualificações de funcionários, os de nível fundamental, médio e superior. O número de funcionários de nível fundamental é 25; de nível médio, 65; de nível superior, 10. Sabendo-se que a média salarial dos funcionários de nível fundamental é R$ 720,00, de nível médio R$ 1230,00 e de nível superior R$ 5200,00, é CORRETO afirmar que a média salarial da folha de pagamento da empresa é:
A) R$ 2233,55
B) R$ 1920,32
C) R$ 1500,00
D) R$ 1499,50
E) R$ 1215,45

Escolaridade	Nº de funcionários	Média Salarial	Salário Total
Fundamental	25	R$ 720,00	R$ 18.000,00
Médio	65	R$ 1.230,00	R$ 79.950,00
Superior	10	R$ 5.200,00	R$ 52.000,00

média salarial = (somatório dos salários totais) / (número de funcionários total) média salarial = (18000 + 79950 + 52000) / 100
média salarial = 149950 / 100
média salarial = 1499,50

2)No grupo de números 12, 4, 7, 12, 3, 8, 3, 12, 5, o produto da moda pela mediana é igual a:
A) 72
B) 84
C) 32
D) 23
E) 32,5

Mediana é o número do centro quando os elementos são colocados em ordem.
Moda é o elemento que aparece com mais frequência

Em ordem: 3, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 12, 12
Mediana = 7
Moda = 12

7 * 12 = 84

3) Em um saco, existem 8 bolas das quais 2 são brancas. É CORRETO afirmar que a probabilidade de se retirarem 3 bolas do saco e de nenhuma ser branca é de:
A) 5/13
B) 5/14
C) 3/4
D) 8/15
E) 9/20

Probabilidade de se retirar uma bola preta = 6/8 = 3/4
Probabilidade de se retirar segunda bola preta sem reposição = 5/7
Probabilidade de se retirar uma terceira bola preta sem reposição= 4/6 = 2/3
Total = (3/4) * (5/7) * (2/3)
Total = (1/4) * (5/7) * (2)
Total = (1/2) * (5/7)
Total = 5/14

4) Uma urna contém 50 fichas numeradas de 01 a 50. Retira-se ao acaso uma ficha da urna. Qual a probabilidade de o número da ficha retirada ser divisível por 6 ou por 8?
A) 0,24
B) 0,2
C) 0,36
D) 0,3
E) 0,12

50 / 6 = 8,33.... Isso significa que há 8 números divisíveis por 6 entre 1 e 50.
S = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}

50 / 8 = 6,25. Isso significa que há 6 números divisíveis por 8 entre 1 e 50.
O = (8, 16, 24, 32, 40, 48)

MMC(6, 8) = 24. Isso significa que o número múltiplos de 24 são divisíveis tanto por 6 quanto por 8.

50 / 24 = 2,08.... Isso significa que há 2 números entre 1 e 50 que são divisíveis tanto por 6 e quanto por 8.
C = (24, 48}

Total = S + O - C
Total = 6 números divisíveis por oito + 8 números divisíveis por seis - 2 números divisíveis por ambos
Total = 6 + 8 - 2
Total = 12

Probabilidade = 12 / 50 = 0,24

OBS: Subtrai-se os números divisíveis por ambos pois eles estão contidos no conjunto dos números divisíveis por seis e no conjunto dos números divisíveis por 8. Se você só somar 6 + 8 = 14, terá contado os números 24 e 48 duas vezes.

5) Em uma sala de aula, existem 10 estudantes com grande potencial de obter os três primeiro lugares. realizado o exame, quantos resultados distintos pode haver para o 1º, 2º e 3º lugares, respectivamente?
A) 720
B) 270
C) 504
D) 405
E) 1420

A(10,3) = 10! / 7!
= (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 10 * 9 * 8
= 720

6) Com os algorismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a quantidade de números pares de 5 algarismos distintos que podem ser formados é igual a:
A) 3024
B) 1512
C) 1209
D) 8400
E) 6720

Temos 5 casa a serem preenchidas com 9 algarismos
Total = _ * _ * _ * _ * _

Na última casa deve ter um algarismo par (2, 4, 6 ou 8), logo há 4 possibilidades para a última.
Total = _ * _ * _ * _ * 4

Uma vez removido um número par qualquer, sobram 8 algarismos para as demais casas:
Total = 8 * 7 * 6 * 5 * 4
Total = 6720

7) Uma cidade realiza um concurso, tendo como pré-requisito o nível médio. O concurso aconteceu para os cargos A e B. Com a intenção de oferecer mais opções aos candidatos, a prova do cargo A foi realizada no período da manhã, e a do cargo B, no período da tarde, possibilitando assim que um candidato se inscrevesse para os dois cargos. O total de candidatos inscritos foi de 20.000. Para o cargo A, o número de candidatos inscritos foi de 12.000, e para o cargo B, de 11.000. É CORRETO afirmar que o número de candidatos inscritos nos dois cargos foi de: A) 4000
B) 3000
C) 3500
D) 4500
E) 2000

Total de candidatos = 20.000
Candidatos que se inscreveram para o cargo A = 12.000
Candidatos que se inscreveram para o cargo B = 11.000
A + B = 23.000
Esse excesso de 3.000 candidatos representa a interseção, ou seja, os candidatos que se inscreveram para ambos.

8) Um número N, ao ser dividido por 7, deixa resto 5. Dividindo-se N + 4 por 7, o resto obtido é:
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9

O Algoritmo de Euclides estabelece que D = dq +r, em que D é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r = resto.
O enunciado diz que N = 7x + 5, em que x é o quociente, que não foi informado.
A título de exemplificação, N poderia ser 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47...
5 = (7*0) + 5
12 = (7*1) + 5
19 = (7*2) + 5
26 = (7*3) + 5
...

O importante é notar que o quociente pode ser representado por x.
N+4 = 7x + 5 + 4
N+4 = 7x + 9
Cuidado, pois o resto não pode ser maior ou igual ao divisor. Subtraia do resto o divisor para encontrar o valor correto.
N+4 = 7x + 7 + 2
N+4 = 7(x+1) + 2
Resto = 2

9) Em um jogo de dominó tradicional temos 28 peças numeradas do zero ao seis (0-0; 0-1; 0-2; 0-3; 0-4; 0-5; 0-6; 1-1; 1-2 e assim sucessivamente) se somarmos todos os números indicados de cada pelo vamos encontrar o total de:
A) 144.
B) 168.
C) 189.
D) 176.
E) 198.

Imagine as peças do dominó organizadas da seguinte forma:

Complete um quadrado seguindo o padrão:

Esse quadrado conta com 7 fileiras e 7 colunas, há portanto 49 peças.
Cada peça possui dois dígitos, logo há 98 dígitos.
Devido à simetria, todos os dígitos aparecem a mesma quantidade de vezes. Como há 98 dígitos ao todo e 7 dígitos diferentes então cada dígito aparece 14 vezes (98/7 = 14).

A soma de todos os dígitos desse quadrado é:
= 14 * (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 14 * (21)
= 294

A diagonal em que há dígitos gêmeos nos interessa, pois ela divide o quadrado em duas bandas de valores iguais. A gente precisa se livrar da banda colorida para encontrar o valor solicitado pela questão. Na diagonal longa estão as peças 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66. A soma dos dígitos dessa diagonal é:
= 2 * (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 2 * (21)
= 42

Retire a diagonal do somatório total:
= 294 - 42
= 252

Divide por dois para eliminar a banda repetida:
= 252 / 2
= 126

Adiciona a diagonal de volta:
= 126 + 42
= 168

10) "Se não estudo então reprovo. Se não reprovo, então não assisto tv. Se estudo, assisto tv. Se estudo, não reprovo."
Dessas premissas podemos dizer que "reprovo" é uma conclusão que válida esse argumento?

Considere:
P = Estudo
Q = Reprovo
R = Assisto TV
Enunciado:
(A) ~P → Q
(B) ~Q → ~R
(C) P → R
(D) P → ~Q
Se admitir "estudo" como verdadeiro, o enunciado nos levará a uma contradição:
(C) diz que P → ~Q e (B) diz que ~Q → ~R, logo P → ~R.
Porém (D) diz P → R, ou seja Se estudo, então assisto TV e não Assisto TV (contradição).
Conclui-se portanto que "estudo" não pode ser verdadeiro. Como se (A) diz que ~P → Q, conclui-se também que "reprovo". Logo "reprovo" é uma conclusão válida para esse argumento.

11)(FGV 2014) Caetano sai de casa todo dia à mesma hora e vai de bicicleta até a escola. Quando vai a uma velocidade média de 12 km/h, chega cinco minutos atrasado.
Quando vai a uma velocidade média de 18 km/h, chega cinco minutos adiantado.
A distância da casa de Caetano até a escola, em km, é de:
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12

D = V * t
Velocidade em km por minutos e tempo em minutos.
12 km/h = 12 km/60min = 0,2 km/min
18 km/h = 18 km/60min = 0,3 km/min

Equação A:
D = 0,2 km/min * (t + 5)
D = 0,2t + 1

Equação B:
D = 0,3 km/min * (t - 5)
D = 0,3t - 1,5

Calcula B - A
0 = 0,1t - 2,5
t = 25 minutos

Substitui 25 em qualquer uma das equações. Eu escolhi a equação A:
D = 0,2 km/min * (t + 5)
D = 0,2t + 1
D = 0,2(25) + 1
D = 5 + 1
D = 6 km

12) Em seus empregos, João tem folga de 9 em 9 dias e Maria de 6 em 6 dias. Em certa segunda-feira, João e Maria tiveram folga juntos. Após essa segunda-feira, o sexto dia em que João e Maria tiveram folga juntos foi uma:
A) segunda-feira.
B) terça-feira.
C) quarta-feira.
D) quinta-feira.
E) sexta-feira.

O enunciado não especifica quantos dias eles trabalham por semana, mas acredito que seja de segunda a sexta.
Com cinco dias úteis em uma semana, o resto de uma divisão por cinco indica quantos dias transcorreram em relação ao dia inicial.
Resto 0 = segunda
Resto 1 = terça
Resto 2 = quarta
Resto 3 = quinta
Resto 4 = sexta

Por exemplo, contando a primeira folga coletiva na segunda feira como dia 0.
0 / 5 = 0, resto 0, segunda
O segundo dia foi terça:
1/5 = 0, resto 1, terça.
E assim por diante.

MMC(6, 9) = 18. Isso significa que João e Maria têm folga juntos a cada 18 dias úteis.
A sexta folga em conjunto ocorrerá em 18*6=108 dias úteis.

Se eles trabalham de segunda a sexta, 108/5=21 com resto 3. O resto indica que o dia é uma quinta.
Se eles trabalham aos sábados, 108/6 = 18 com resto 0. Vai cair em uma segunda.
Se eles trabalham todos os dias, 108/7 = 15 com resto 3, quinta-feira de novo.

13) Assinale a alternativa que apresenta quantas vezes usamos o algarismo 3 para escrever todos os números naturais entre 10 e 110.
A) 10.
B) 12.
C) 20.
D) 22.
E) 23.

O algarismo três pode aparecer ora na casa das unidades, ora na casa das dezenas.
Unidades: 10 vezes {13, 23, 33, 43, ..., 103}
Dezenas: 10 vezes {30, 31, 32, 33, ..., 39}
Ao todo são 20 ocorrências.

14) (ANULADA) Considere como conjunto universo o conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro.
Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta:
x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30
a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}
b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}
e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}

Seja N o conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro:
N = {1, 2, 3, 4, ..., 24}

Seja M o conjunto verdade da sentença aberta do enunciado:
M = {x: x ∈ N, x² < 30 ou (x-1) é divisor de trinta}

Seja o conjunto A igual aos números inteiros positivos elevados ao quadrado inferiores a 30:
A = {1, 2, 3, 4, 5}

Seja B o conjunto dos números inteiros positivos que, quando subtraídos por um, são divisores de 30:
B = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16, 31}

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16, 31}

M = {x: x ∈ N, x² < 30 ou (x-1) é divisor de trinta}
M = N ∩ (A U B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
As letra A, B e C estão corretas. Questão deve ser anulada.

15) Antônio tem apenas dois filhos: Bruno e Carlos e, como netos, apenas Dirceu, Eduardo e Fernando. Bruno possui apenas um filho e Eduardo tem um irmão. Com essas informações, pode-se afirmar com certeza, que:
A) Dirceu é filho de Carlos.
B) Eduardo e Fernando são filhos de Carlos.
C) Fernando é filho de Bruno.
D) Dirceu e Fernando são primos.
E) Dirceu e Fernando são irmão

Se Bruno tem apenas um filho e Eduardo tem um irmão, conclui-se que Eduardo não é filho de Bruno.
O filho de Bruno é ora Dirceu, ora Fernando.
Isso faz com que Dirceu e Fernando sejam primos.

16)Um elevador pode transportar com segurança 12 adultos ou 18 crianças. Se em uma lotação já há 8 adultos, assinale quantas crianças ainda poderão entrar.
A) 2.
B) 6.
C) 4.
D) 10.
E) 12.

A proporção de peso médio entre adultos e crianças é de 1:(3/2).
Se há 8 adultos no elevador e, se cada adulto corresponde a (3/2) criança, então é como se houvesse 8 * (3/2) = 12 crianças no elevador.
Faltam 6 crianças para completar 18.
Talvez seja ainda mais intuitivo pensar que 2/3 da capacidade do elevador foi preenchida com adultos. Um terço restante deve ser preenchida com crianças, ou seja, (1/3) de 18 que iguala 6.

17) O padeiro João dos Pães Frutuosos tinha o hábito de sair toda manhã e entregar determinada quantidade de pães de sua padaria gratuitamente para seus clientes. Pensava ele que esta ação garantiria a fidelidade de sua clientela. Cada manhã a quantidade de pães que colocava na cesta para distribuir era diferente.
Em um dado dia João dos Pães Frutuosos chegou à casa de Maria Guloseima e entregou a metade dos pães que ele trazia na cesta mais meio pão. Em seguida, na casa de Florinda Adocicada, ele entregou a metade do que restou mais meio pão. Na sequência, na casa de Benedita Marmelada, após ele entregar a metade do que tinha sobrado mais meio pão, acabaram-se os pães. Inicialmente na cesta de João dos Pães Frutuosos havia:
A) 15 pães.
B) 13 pães.
C) 11 pães.
D) 9 pães.
E) 7 pães.

Vai de trás pra frente, fazendo as operações inversas.
0 + 0,5 = 0,5 * 2 = 1
1 + 0,5 = 1,5 * 2 = 3
3 + 0,5 = 3,5 * 2 = 7

18) (ANPAD) Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição "Se a concentração e a dedicação forem efetivas, então a aprendizagem é consequência".
A) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem é consequência.
B) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem não é consequência.
C) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem é consequência.
D) A concentração e a dedicação são efetivas, ou a aprendizagem não é consequência.
E) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem não é consequência.

Transcreva a proposição do enunciado para simbologia lógica:
P → Q
Sendo que as proposições P e Q representam:
P: A concentração e a dedicação são afetivas
Q: O aprendizado é consequência
O exercício pede a negação de P→Q, ou seja, o examinador quer uma equivalência de ~(P→Q).
~(P→Q) = ~(~P v Q) pela implicação material;
~(~P v Q) = P ^ ~Q pelo Teorema de DeMorgan.
Leia-se "a concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem não é consequência".

Observe que P é uma proposição composta, mas isso não interfere no resultado. Você poderia transcrever o enunciado (P^Q)→R e chegaria ao mesmo resultado: Letra B.
Tabela verdade para tirar a prova:

19) Dada a sentença: "Se está sol, então não está chovendo". Marque a alternativa logicamente equivalente à sentença dada.
A) Se não está sol, então está chovendo.
B) Está sol ou não está chovendo.
C) Não está sol e não está chovendo.
D) Se não está chovendo, então está sol.
E) Se está chovendo, então não está sol.

P = Está sol
Q = Está chovendo
O enunciado pode ser escrito logicamente sob a forma P→~Q.
Usando a equivalência lógica denominada de transposição, o enunciado fica:
P→~Q ≡~(~Q) → ~P
~(~Q) → ~P ≡ Q → ~P após cancelar a dupla negação.
Leia-se "se está chovendo, então não está sol".

20)Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no final, observou que, do número total de atletas participantes, 1/4 havia terminado a prova na sua frente, e 2/3 haviam chegado depois dele. Considerando-se que todos os participantes completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada nessa prova, Ricardo foi o:
A) 3º colocado
B) 4º colocado
C) 5º colocado
D) 6º colocado
E) 8º colocado

X é o número de participantes, sendo que um quarto chegou a frente de Ricardo, dois terços chegaram depois de Ricardo. É claro que Ricardo deve ser contado também, por isso adiciona-se 1 ao lado direito da equação:
[tex]x = \frac{2}{3}x + \frac{1}{4}x + 1[/tex]

[tex]x - \frac{2}{3}x -\frac{1}{4}x = 1[/tex], multiplicam-se ambos os lados por 12:

[tex]12x - 8x - 2x = 12[/tex]

[tex]x = 12[/tex]
Há 12 participantes ao todo, incluindo Ricardo.
O enunciado diz que 1/4 dos participantes chegaram à frente de Ricardo. Um quarto de 12 é igual a 3. Logo, 3 concorrentes chegaram antes do protagonista.
Ricardo foi o 4º colocado.

21) Marcos e sua irmã Ana tiraram 216 fotos, Marcos tirou 48 fotos a mais que Ana.
Quantas fotos foram tiradas por Marcos?
A) 136.
B) 126.
C) 11.
D) 132.

M - A = 48
M + A = 216

Soma as duas equações:
2M = 264
M = 132

22) Uma pesquisa sobre a preferência de 20 consumidores de um restaurante foi registrada na tabela a seguir:

Pratos	Nº de consumidores
A	4
B	7
C	9

Sorteando aleatoriamente dois desses consumidores, a probabilidade de que ambos tenham escolhido o mesmo prato é:
A) 37,6%
B) 35,6%
C) 47,3%
D) 33,2%
E) 42,5%

A probabilidade de sortear um consumidor do prato A é igual a 4 entre 20. Após sortear o primeiro, a chance de sair um segundo é 3 de 19 pois não há reposição.
Leia P(A e A) como a probabilidade de sortear um consumidor do prato A duas vezes, seguem as respectivas probabilidades:
P(A e A) = (4/20) * (3/19) = 12 / 380
P(B e B) = (7/20) * (6/19) = 42 / 380
P(C e C) = (9/20) * (8/19) = 72 / 380

Total = P(A e A) + P(B e B) + P(C e C)
Total = (12 / 380) + (42 / 380) + (72 / 380)
Total = 126 / 380 = 63 / 190
Total ≈ 0,3315 ≈ 33,2%

23) Observe a sequência numérica a seguir:
1, 3, 8, 24, 29, 87, ...
O primeiro número de quatro algarismos dessa sequência é:
A) 1.859
B) 2.544
C) 3.526
D) 4.653

a sequência segue a regra "multiplica por três", "soma 5" sucessivamente:
1
1 * 3 = 3
3 + 5 = 8
8 * 3 = 24
24 + 5 = 29
29 * 3 = 87
873 + 5 = 92
92 * 3 = 276
2763 + 5 = 281
281 * 3 = 843
8433 + 5 = 848
848 * 3 = 2544

24) Observe a sequência abaixo para poder completá-la, obedecendo a lógica proposta. 10 - 15 - 25 - 45 - 85 - ___

Observe o valor que é acrescentado de um número para o outro:
15 - 10 = 5
25 - 15 = 10
45 - 25 = 20
85 - 45 = 40
O próximo resultado da subtração deve ser 80.
x - 85 = 80
x = 80 + 85
x = 165

25) Foram realizados testes com uma amostra de 380 produtos produzidos por diversos fabricantes distintos. Os testes mostraram que os produtos avaliados apresentavam vários problemas, sendo os principais a “inconformidade com relação ao peso”, os “problemas na embalagem do produto” e “informações insuficientes sobre a composição do produto”. Os resultados da pesquisa são os seguintes:
I – 50 apresentaram inconformidade com relação ao peso;
II – 120 apresentaram problemas na embalagem do produto;
III – 280 apresentaram informações insuficientes sobre a composição do produto;
IV – 10 apresentaram inconformidade com relação ao peso e problemas na embalagem do produto;
V – 40 apresentaram problemas na embalagem e informações insuficientes sobre a composição do produto.
Logo, a quantidade máxima de produtos que apresentou problemas de inconformidade com relação ao peso e informações insuficientes sobre a composição do produto foi:
A) 20.
B) 15.
C) 10.
D) 25.
E) 30.

Problemas:
A - Inconformidade com relação ao peso
B - Problemas na embalagem do produto
C - Informações insuficientes sobre a composição do produto

Resultados:
T = 380 produtos ao todo
A = 50
B = 120
C = 280
A∩B = 10
B∩C = 40

Desconhece-se:
A∩C = ? (esse é o número que queremos maximizar)
A∩B∩C = ?

T = A + B + C - (A∩B + A∩C + B∩C) + A∩B∩C
380 = 50 + 120 + 280 - (10 + 40 + A∩C) + A∩B∩C
380 = 450 - (50 + A∩C) + A∩B∩C
380 = 450 - 50 - A∩C + A∩B∩C
A∩C - A∩B∩C = 20

Qual o maior valor possível para A∩B∩C? 10. Porque é o menor valor entre (A ∩ B) e (B ∩ C). Se fosse maior que 10, então (A∩B - A∩B∩C) seria negativo.

A∩C - A∩B∩C = 20
A∩C - 10 = 20
A∩C = 30

26) Um grupo de música da câmara é formado por 8 músicos que tocam instrumentos diferentes. Cada músico toca apenas um instrumento. O grupo faz apresentações segundo diferentes configurações: solo (apenas um músico), duo (dois músicos) e assim por diante, até o octeto (todos os oito músicos). Uma combinação qualquer de uma quantidade não nula de músicos fornece uma configuração válida para uma apresentação. Duas configurações são iguais se, e apenas se, forem constituídas por um mesmo número de músicos e pelos mesmos instrumentos.
Até quantas configurações válidas distintas poderiam ser montadas para uma apresentação?
A) 255
B) 256
C) 5040
D) 40319
E) 40320

Represente os membros da banda por zeros e uns. Sendo que zero indica que o músico naquela posição não está tocando seu instrumento, enquanto que o número 1 indica que o músico naquela posição está tocando o instrumento.

Exemplos:
0000 0000 são oito zeros representando que ninguém está tocando. O espaço no centro é para melhorar a visualização.
0000 0001 um solo
0010 0000 outro solo
0101 0000 um dueto
0000 0011 outro dueto.
1111 1111 um octeto.

Quantas combinações são possíveis?
Se você tem familiaridade com binária vai notar que há 2^8 ou 256 combinações possível, pois há oito casas que podem ser ora zero, ora um. Então 2*2*2*2*2*2*2*2.
Mas não se precipite em marcar a letra B, porque você contou 0000 0000, caso em que nenhum músico está tocando seu respectivo instrumento. Logo, basta excluir esse resultado da contagem.
256 - 1 = 255.

27) (VUNESP - ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO - 2014)
Considere a afirmação:
Estudei muito e passei no concurso, ou minha preguiça foi maior. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é:
A) Não estudei muito ou não passei no concurso, e minha preguiça não foi maior.
B) Se não estudei muito então minha preguiça foi maior e não passei no concurso.
C) Minha preguiça foi maior e não passei no concurso, e não estudei muito.
D) Não estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
E) Estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.

P = Estudei muito;
Q = Passei no concurso;
R = Minha preguiça foi maior.
Enunciado: (P ^ Q) v R
Negação: ~[(P ^ Q) v R]
Teorema de DeMorgan: ~(P ^ Q) ^ ~R
Teorema de DeMordan: (~P v ~Q) ^ ~R

Resolução por tabela verdade:

28) Para chegar a certo cômodo da casa, uma pessoa dispõe de um chaveiro com 5 chaves distintas e deverá testá-las para abrir as 2 portas. Qual a probabilidade de que a pessoa consiga abrir as 2 portas, ambas na primeira tentativa, descartando, ao tentar abrir a segunda porta, a chave que abriu a primeira?
A) 2%
B) 4%
C) 5%
D) 8%
E) 10%

A chance de abrir a primeira porta de primeira é uma entre 5 chaves, portanto[tex]\frac{1}{5}[/tex].
A chance de abrir a segunda porta de primeira é uma entre 4 chavez, pois descartou-se a chave que abriu a primeira porta, [tex]\frac{1}{4}[/tex].
A chance de abrir a primeira E a segunda porta de primeira é:
[tex]\frac{1}{5}[/tex]* [tex]\frac{1}{4}[/tex] = [tex]\frac{1}{20}[/tex] = 0,05 = 5%
PS: Lembre-se que E implica em multiplicação de probabilidade, OU implica em soma de probabilidades.

29)Numa casa há 6 banheiros, sendo que 4 possuem banheira de hidromassagem. De quantas maneiras uma pessoa pode tomar 3 banhos em banheiros diferentes, não importando a ordem, mas usando a hidromassagem pelo menos uma vez?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 36
Há só 2 banheiros sem hidromassagem. Ao tomar 3 banhos em banheiros diferentes, necessariamente ao menos 1 dos banhos será em hidromassagem. Logo, a restrição ao final do enunciado é inócua.
Como a ordem não importa, trata-se de uma combinação de 3 elementos entre 6.
[tex]C\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}[/tex]

[tex]C\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!(3)!}[/tex]

[tex]C\binom{6}{3}=\frac{6*5*4*3*2}{(3*2)(3*2)}[/tex]

[tex]C\binom{6}{3}=5*4[/tex]

[tex]C\binom{6}{3}=20[/tex]

30) O inverso de um número natural somado com o dobro de seu antecessor e 3/4 de seu sucessor é igual a 10. O número em questão é?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Se o número natural for igual a x, então o seu inverso é [tex]\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\frac{1}{x} + 2(x-1) + \frac{3}{4}(x+1) = 10[/tex]

[tex]\frac{1}{x} + 2x - x + \frac{3}{4}x+\frac{3}{4} = 10[/tex]

[tex]4 + 8x^{2} - 8x + 3x^{2} + 3x = 40x[/tex]

[tex]11x^{2} - 45x + 4 = 0[/tex]

[tex](11x -1)(x-4) = 0[/tex]

[tex]x = 1/11 ou 4[/tex]

Como x é um número natural, x = 4.

003.01 - Princípios da argumentação - Exercícios

1) (2006 - FCC) Considere os argumentos abaixo:

Argumento	Premissa 1	Premissa 2	Conclusão
I	A→B	A	B
II	A→B	~A	~B
III	A→B	~B	~A
IV	A→B	B	A

Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada,
A) L, I, L, I.
B) I, L, I, L.
C) I, I, I, I.
D) L, L, I, L.
E) L, L, L, L.

O argumento I é legítimo, chama-se Modus Ponens.
Exemplo:
Premissa 1: “Se for 25 de dezembro, então é Natal”.
Premissa 2: “É 25 de dezembro”.
Conclusão: “É Natal”.

O argumento II é ilegítimo, trata-se da negação do antecedente.
Exemplo:
Premissa 1: “Se correu, então está cansado”.
Premissa 2: “Não correu”.
Conclusão: “Não está cansado” (Conclusão falaciosa, pois não decorre das premissas. Pode-se estar cansado por outros motivos).

O argumento III é legítimo, chama-se Modus Tollens.
Exemplo:
Premissa 1: “Se choveu, então está molhado”.
Premissa 2: “Não está molhado”.
Conclusão: Não choveu, pois se tivesse chovido, estaria molhado.

O argumento IV é ilegítimo. É uma afirmação do consequente.
Exemplo:
Premissa 1: “Se penso, logo existe”.
Premissa 2: “Pedras existem”.
Conclusão: “Logo, pedras pensam”.

---

2) (2012 - FCC) Considere a seguinte análise, feita por um comentarista esportivo durante um torneio de futebol. 

Se o Brasil vencer ou empatar o jogo contra o Equador, então estará classificado para a semifinal, independentemente de outros resultados. Classificando-se para a semifinal, a equipe brasileira vai enfrentar o Uruguai. 

De acordo com essa análise, conclui-se que:

A) Se o Brasil não enfrentar o Uruguai, necessariamente terá perdido o jogo para o Equador.
B) Se o Brasil não se classificar para a semifinal, terá necessariamente empatado o jogo com o Equador.
C) Se o Brasil enfrentar o Uruguai, necessariamente terá vencido ou empatado seu jogo contra o Equador.
D) Se o Brasil perder seu jogo contra o Equador, necessariamente não se classificará para a semifinal.
E) Se o Brasil se classificar para a semifinal, então necessariamente não terá sido derrotado pelo Equador.

Admitimos três possíveis resultados excludentes para o jogo do Brasil contra o Equador: vitória, derrota ou empate.
Adotamos as seguinte abreviações:
D = Brasil é derrotado pelo Equador;
~D = Brasil ganha ou empata contra o Equador;

S = Brasil vai para a semifinal;
U = Brasil joga contra o Uruguai.
As premissas do enunciado podem ser transcritas para a simbologia lógica da seguinte maneira:
~D → S
S → U

A) Correta. Usando a “Implicação Material” nas premissas 1 e 2, resulta em:
~S → D
~U → ~S.
Logo: ~U → ~S → D
Ou seja, se o Brasil não jogou contra o Uruguai é porque o Brasil não participou da semifinal. E se o Brasil não participou da semifinal é porque o Brasil foi derrotado pelo Equador.

B) Errada. Segundo o enunciado, se o Brasil empatar ou vencer o jogo contra o Equador, então estará na semifinal. Ora, se o Brasil não se classificar para a semifinal terá necessariamente sido derrotado no jogo com o Equador.

C) Errada. É a falácia da afirmação do consequente, isto é, a conclusão não deriva das premissas do enunciado (non sequitur).
~D→S→U não significa que U→S→~D.

D) Errada por ser uma negação do antecedente, uma falácia do tipo non sequitur. ~D→S não significa que D→~S.

E) Errada pela mesma razão que a letra C, falácia da afirmação do consequente.
~D→S não significa que S→~D.

---

3) (2008 - Cespe) Considere as proposições:
I. Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.
II. Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.

Suponha que sejam verdadeiras as seguintes proposições.
III. Joaquina não tem garantido o direito de herança.
IV. Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.
 
Se III e IV acima, e II, do texto, são premissas de um argumento, assinale a opção correspondente à “conclusão”, que forma com essas premissas um argumento válido.
 
A) Joaquina não é cidadã de muita sorte.
B) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
C) Joaquina não é cidadã brasileira.
D) Ou todos não têm direito de herança ou todos não são cidadãos brasileiros.
E) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Vamos adotar as seguintes abreviações:
B = É cidadão brasileiro;
H = Tem direito à herança;
J = A cidadã é a Joaquina;
S = É cidadão de muita sorte.

Premissa II: B→H
Premissa III: J→~H
Premissa IV: H→S

A) Errada. Negação do antecedente. Não ter direito à herança não implica em não ser de muita sorte, isto é, H→S não significa que ~H→~S.

B) Errada. Afirmação do consequente. Pode ser que algum outro país também preveja o direito à herança e isso não invalida as premissas do enunciado.

C) Certa. Pode-se reescrever a premissa II usando a transposição para obter a seguinte equivalência:
~H→~B.
A premissa III afirma que:
J→~H.
Unindo as duas informações, conclui-se pelo "silogismo hipotético" que: J→~B, ou seja, Joaquina não é brasileira. Se ela fosse brasileira, então ela teria direito à herança conforme afirma a premissa II.

D) Errada. O Cespe não usa disjunção exclusiva mesmo quando o "ou" antecede cada trecho da frase. Usando a "implicação material" e, em seguida, a "regra comutativa" da disjunção inclusiva, a premissa II equivale a:
~B v H ≡ H v ~B
Leia-se: Ou tem direito a herança ou não é cidadão brasileiro.

E) Errada. Segundo o enunciado, ter direito à herança implica em ser de muita sorte. O fato de Joaquina não ser brasileira ou não ter direito à herança não implica em não ter muita sorte. Pode ser que ela tenha muita sorte em outros aspectos. A assertiva é mais uma negação do consequente.

---

4) (2014 - COPEVE) Considere o seguinte argumento:
Se Diana nada espera da vida, então ela não será decepcionada.
Diana nada espera da vida. Logo, Diana não será decepcionada.
Qual o nome da regra de inferência aplicada?
A) Silogismo hipotético
B) Silogismo disjuntivo
C) Modus Ponens
D) Modus Tolens
E) Dilema Construtivo

Se admitirmos que
P = Diana nada espera da vida;
Q = Ela não será decepcionada.
Então o enunciado pode ser transcrito para a simbologia lógica:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: P
Conclusão: Q

Esse tipo de argumento é conhecido como Modus Ponens (significa "A maneira de se colocar" em latim).

Um argumento Modus Tollens ("A forma de se tomar") segue a ordem:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: ~Q
Conclusão: ~P

O Silogismo Disjuntivo:
Premissa 1: P v Q
Premissa 2: ~P
Conclusão: Q

As outras duas assertivas representam argumentos que precisam de 3 parâmetros.
Silogismo hipotético:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: Q → R
Conclusão: P → R

Dilema Construtivo:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: R → S
Premissa 3: P v R
Conclusão: Q v S

---

5) (2015 - Prefeitura do Rio de Janeiro) Considerem-se os seguintes argumentos:
Argumento 1
Premissa 1: Se Maria come de tudo, então João não reclama.
Premissa 2: Maria come de tudo.
Conclusão: João não reclama.

Argumento 2
Premissa 1: Se José está sem dinheiro, então Antônio está infeliz.
Premissa 2: Antônio está infeliz.
Conclusão: José está sem dinheiro.

Os argumentos 1 e 2 são classificados, respectivamente, como:

A) válido e válido.
B) inválido e válido.
C) válido e inválido.
D) inválido e inválido.

O primeiro argumento é válido, chama-se Modus Ponens e segue o rito:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: P
Conclusão: Q

O segundo argumento é a falácia da afirmação do consequente. Caracterizado pelo seguinte raciocínio errado:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: Q
Conclusão: P

---

6) (2015 - FCC) Considere verdadeiras as afirmações:
− Daniel não bebe cerveja.
− Se André prefere doces, então Bernardo bebe água.
− Se Caio gosta de feijoada, então Daniel bebe cerveja.
− Bernardo bebe água ou Caio gosta de feijoada.
A partir dessas afirmações é possível concluir, corretamente, que
A) Bernardo não bebe água ou André não prefere doces.
B) Caio gosta de feijoada e Bernardo bebe água.
C) André prefere doces e Daniel não bebe cerveja.
D) Caio não gosta de feijoada ou André prefere doces.
E) Caio não gosta de feijoada e Daniel bebe cerveja.

Vamos adotar as abreviações:
A = André prefere doces
B = Bernardo bebe água
C = Caio gosta de feijoada
D = Daniel bebe cerveja

Enunciado:
Premissa 1: ~D
Premissa 2: A → B
Premissa 3: C → D
Premissa 4: B v C

Juntando a premissas 1 e 2, conclui-se ~C pelo argumento Modus Tollens.
Premissa 3: C → D
Premissa 1: ~D
Conclusão 1: ~C

Usando essa conclusão em conjunto com a premissa 4, conclui-se B, pelo Silogismo Disjuntivo.
Premissa 3: B v C
Premissa 5: ~C
Conclusão: B

Nada pode-se dizer sobre André.
A letra A está errada, pois sabe-se que Bernardo bebe água, enquanto que não temos informações suficientes sobre André. Portanto, ~B v ~A pode ser tanto verdadeiro quanto falso.
A letra B está errada, pois (C ^ B) é Falso, já que C é falso.
A letra C é falsa pelo mesmo motivo da letra A.
A letra D está correta, pois ~C v A é verdadeiro independentemente do valor de A.
A letra E está errada, porque Daniel não bebe cerveja. Basta uma falsa para que uma proposição composta por conjunção seja falsa também.

---

7) (2010 - UFMG) Considere as premissas:

• Andrea não é loira ou Paula é alta.
• Paula não é alta ou Carla é baixa.
• Paula é alta ou Carla é baixa ou Andrea é loira.
• Andrea é loira ou Carla não é baixa.

A partir dessas premissas, é CORRETO afirmar que

A) Andrea não é loira, Paula é alta, Carla é baixa.
B) Andrea não é loira, Paula não é alta, Carla não é baixa.
C) Andrea é loira, Paula é alta, Carla não é baixa.
D) Andrea é loira, Paula é alta, Carla é baixa.

Adotamos as abreviações:
A = Andrea é loira.
C = Carla é baixa.
P = Paula é alta.

Enunciado:
Premissa 1: ~A v P
Premissa 2: ~P v C
Premissa 3: P v C v A
Premissa 4: A v ~C

A letra A diz (~A ^ P ^ C) e contradiz a premissa 4 do enunciado.
A letra B diz (~A ^ ~P ^ ~C) e contradiz a premissa 3 do enunciado.
A letra C diz (A ^ P ^ ~C) e contradiz a premissa 2 do enunciado.
Só sobra a letra D que está de acordo com todas as premissas do enunciado.
Tabela Verdade:

---

8) (2013 - PUCPR) Assinale a alternativa que contém argumentos válidos, sob o ponto de vista lógico.

A) Ostra é um crustáceo.
Gato não é ostra.
Conclusão: gato não é crustáceo.

B) Alguns carecas são ricos.
Todos os ricos são saudáveis.
O homem é careca.
Conclusão: o homem é saudável.

C) Todo A é B.
Algum C é B.
Logo, algum C é A.

D) Algum A é B.
Algum C é B.
Logo, algum A é C.

E) Todos os mamíferos são bons nadadores.
Todas as pedras são vegetais.
Todos os vegetais são mamíferos.
Conclusão: todas as pedras são boas nadadoras.

Um argumento é válido se a veracidade da conclusão decorrer da veracidade das premissas. Se as premissas são verdadeiras, então a conclusão também deve ser verdadeira.
Se encontrar pelo menos um caso em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa, então o argumento não é válido.

A letra A é uma negação do antecedente, pois assume erroneamente que se gato não é ostra, então é crustáceo.

A letra B está errada porque não necessariamente o homem faz parte do grupo dos carecas ricos, visto que apenas "alguns carecas são ricos" segundo o enunciado.

A letra C está errada porque o conjunto A está inserido dentro do conjunto B, mas não necessariamente o preenche. Ou seja, pode existir B que não seja A e coincidir com que alguns C seja justamente os B que não são A.

A letra D está errada. A ilustração demonstra um caso em que as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.


A letra E está certa pois todas as pedras são vegetais, todos os vegetais são mamíferos e todos os mamíferos são bons nadadores. Logo se esses absurdos fossem verdadeiros, a conclusão também seria. Enquanto à estrutura do argumento, trata-se de um argumento válido.

---

9) (2009 - Cespe) Julgue o item a seguir, acerca de raciocínio lógico.

Se as proposições “Se chove, as ruas da cidade de Vitória estão molhadas"; “As ruas da cidade de Vitória estão molhadas" e “Está chovendo na cidade de Vitória", em que duas primeiras são premissas e a terceira é a conclusão de um argumento, então é correto afirmar que esse argumento é um argumento válido.

Adotamos as abreviações:
P = Está chovendo;
Q = As ruas da cidade de Vitória estão molhadas.

O argumento do enunciado pode ser transcrito:
Premissa 1: P → Q
Premissa 2: Q
Conclusão: P

É um caso da falácia da afirmação do consequente. Um famoso argumento inválido.

---

10) (2014 - CONSULPLAN) Considere os seguintes argumentos:

Argumento I
p1: Trabalho se e somente se estudo.
p2: Terei sucesso, se trabalhar e for proativo.
p3: Não estudei, mas sou proativo.
c: Logo, não terei sucesso.

Argumento II
p1: Gosto de estudar e sou aventureiro.
p2: Gosto de trabalhar ou de viajar.
p3: Se sou aventureiro, então gosto de viajar.
c: Logo, não gosto de trabalhar.

É correto afirmar que:
A) Os argumentos I e II são válidos.
B) Ambos os argumentos, I e II, são inválidos.
C) No argumento I, a conclusão é consequência de suas premissas.
D) Apenas no argumento II, a conclusão é consequência de suas premissas.

Para o argumento I, considere as abreviações e seguinte transcrição para simbologia lógica:
E = Estudo;
P = Sou proativo;
S = Terei sucesso;
T = Trabalho.

Premissa 1: T ↔ E
Premissa 2: (T ^ P) → S
Premissa 3: ~E ^ P
Conclusão: ~S

Para o argumento ser válido, é necessário que a conclusão seja decorrência das premissas. Isto é, se as premissas forem verdadeiras, então necessariamente a conclusão também será verdadeira.
A segunda premissa é a única que tem relação direta com a conclusão. Porém, não há nada nela que force S a ser falso.
Se (T ^ P) forem verdadeiro, então S precisa ser verdadeiro.
Se (T ^ P) forem falso, então S pode ser tanto verdadeiro quanto falso.
Logo, ~S não segue das premissas e o argumento é inválido.
Tabela verdade para provar:


Para o argumento II, considere as abreviações e seguinte transcrição para simbologia lógica:
A = Sou aventureiro;
E = Gosto de Estudar;
T = Gosto de trabalhar;
J = Gosto de viajar;

Premissa 1: E ^ A
Premissa 2: T v J
Premissa 3: A → J
Conclusão: ~T

Novamente só a premissa 2 tem relação direta com a conclusão pois é a única premissa em que T aparece. E mais uma vez não há nada que force T ser falso.
Se J for falso, então T deve ser verdadeiro.
Se J for verdadeiro, então T pode ser verdadeiro ou falso.
Logo, ~T não é uma conclusão que decorra das premissas.
Tabela verdade para tirar a prova:

---

11) (2014 - VUNESP) Considere verdadeiras as premissas I, II e III.

I. Se Cláudio é médico, então Ana é advogada.
II. Se Marcelo é professor, então Débora é dentista.
III. Ana não é advogada ou Débora não é dentista.

A alternativa que contém uma conclusão que pode ser associada às premissas apresentadas, de modo a constituir um argumento válido, é:
A) Marcelo não é professor.
B) Cláudio é médico e Débora não é dentista.
C) Marcelo é professor e Ana é advogada.
D) Cláudio não é médico ou Marcelo não é professor.
E) Cláudio é médico e Marcelo é professor.

Às abreviações:
A = Ana é advogada;
C = Cláudio é médico;
D = Débora é dentista;
M = Marcelo é professor.

Enunciado
Premissa 1: C → A
Premissa 2: M → D
Premissa 3: ~A v ~D

Pelo Dilema Construtivo, conclui-se ~C v ~M que é a letra D.
A transposição das premissas 1 e 2 nos levam às seguintes equivalências:
~A → ~C
~D → ~M
Juntando as três premissas nesse formato fica mais clara a conclusão do argumento Dilema Construtivo.
Se nada mais funcionar e você tiver tempo de sobra, a tabela verdade dá o veredito final. A conclusão da letra D é verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras.

---

12) (2010 - MSCONCURSOS) Observe o argumento:
P1: Toda água do mar é salgada.
P2: Tudo que é salgado é vermelho.
C: Logo, toda água do mar é vermelha.
Chamando o argumento de A, as premissas de P1 e P2 e a conclusão de C,
é correto afirmar que:
A) A é válido, P1 é verdadeira e P2 e C são falsas.
B) A é válido, P1 e P2 são verdadeiras e C é falsa.
C) A é inválido, P1 é verdadeira e P2 e C são falsas.
D) A é inválido e P1 e C são verdadeiras.

O argumento A é válido, já que se as premissas fossem verdadeiras, então a conclusão seria verdadeira. Lembre-se que a validade de um argumento está associado à sua estrutura.
A premissa 1 é verdadeira, pois água do mar é dita salgada.
A premissa 2 não é falsa, porque nem tudo que é salgado é vermelho. Por exemplo, sal refinado é branco.
A conclusão também é falsa, visto que a água do mar, via de regra, é azul.
Gabarito, letra A.

---

13) (2013 - VUNESP) (passível de anulação) Quando um argumento dedutivo é válido, isso significa que
A) se as premissas são falsas, a conclusão é falsa.
B) premissas e conclusão devem ter sempre o mesmo valor de verdade.
C) se a conclusão é falsa, deve haver alguma premissa falsa.
D) não existe situação em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa.
E) as premissas são sempre verdadeiras.

O argumento dedutivo é aquele que parte do geral para o particular. Outra característica importante do argumento dedutivo válido é que suas premissas fornecem evidência incontestável para a conclusão. Isto é, se as premissas são verdadeiras, então consequentemente a conclusão também é verdadeira.
Equivale dizer que "se a conclusão não é verdadeira, então pelo menos uma premissa é falsa" tal qual está na letra C.
A letra D também está correta.
A questão deveria ter sido anulada.

A letra A está errada porque é possível o argumento ser válido (estrutura) e as premissas e a conclusões serem falsas:
Exemplo de argumento válido
Premissa 1: Todo cachorro é violento (falso)
Premissa 2: O Nobel da Paz é um cachorro (falso)
Conclusão: O Nobel da Paz é violento (falso)

A letra B está errada porque é possível ter premissas falsas e a conclusão verdadeira. Exemplo de argumento válido
Premissa 1: Todo peixe é um detetive (falso)
Premissa 2: O Sherlock Holmes é um peixe (falso)
Conclusão: O Sherlock Holmes é um detetive (verdadeiro)

A letra E está errada porque essa é uma característica do argumento válido sólido ou correto.
Conforme demonstrado é possível haver argumento dedutivo válido em que as premissas são falsas e a conclusão é ora verdadeira, ora falsa.

---

14) (2016 - COPEVE-UFAL) Das premissas,

I. Jorge é jogador de tênis ou Carla é cientista;
II. Se Carla é cientista então Bárbara é bióloga;
III. Se Bárbara é bióloga então Mariana é médica.

é correto inferir que se

A) Bárbara é bióloga, Carla é cientista.
B) Carla é cientista, Mariana não é médica.
C) Jorge é jogador de tênis, Bárbara é bióloga.
D) Bárbara não é bióloga, Mariana não é médica.
E) Jorge não é jogador de tênis, Bárbara é bióloga.

Proposições convertidas à simbologia lógica:
J = Jorge é jogador de tênis
C = Carla é cientista
B = Bárbara é bióloga
M = Mariana é médica.

Enunciado (premissas):
I. J v C
II. C → B
III. B → M

Assertivas:
A) B → C
Errada, é uma falácia da afirmação do consequente da premissa II.

B) C → ~M
Errada, a conclusão válida a partir das premissas II e III seria C → M, pois se segunda a premissa II C → B e segundo a premissa III B → M.
Pelo silogismo hipotético (C → B) ^ (B → M) ≡ (C → M)

C) J → B
Errada, J não implica em nada.

D) ~B → ~M
Errada, é uma falácia de negação do antecedente da premissa III.

E) ~J → B
CERTA. Pelo Silogismo disjuntivo na premissa I: (~J) ~ (J v C) ≡ C
Pelo Modus Ponens na premissa II: (C) ^ (C → B) ≡ B
Resumindo: ~J → C e C → B.
Segue que ~J → B.

---

15) (2010 - COPS-UEL) Considere as seguintes proposições: (p ∧ r) → q, p ∨ q, q' onde q' é a negação de q.
Assinale a alternativa correta.
A) As alternativas são contraditórias, já que não poderiam ser verdadeiras ao mesmo tempo.
B) A proposição r' é uma consequência das proposições dadas, uma vez que (p ∧ r) → q ∧ p ∨ q ∧ q' ) → r' é uma tautologia.
C) As três proposições dadas podem ser verdadeiras, mesmo quando p é falsa.
D) A proposição q' → (p ∨ q) é uma tautologia.
E) As três proposições podem ser falsas ao mesmo tempo.

Premissas:
(A) (P ^ R) → Q
(B) P v Q
(C) ~Q

A partir das premissas (A) e (C), conclui-se (~P v ~R) por meio da Transposição e Teorema de DeMorgan:
Oriignal: (P ^ R) → Q
Transposição: ~Q → ~(P ^ R)
Teorema de DeMorgan: ~Q → (~P v ~R)

A partir das premissas (B) e (C), conclui-se P pelo Silogismo Disjuntivo.

Conclusões:
(~P v ~R) ^ P
O que equivale a ~R pelo Silogismo Disjuntivo.

"A proposição r' é uma consequência das proposições dadas, uma vez que (p ∧ r) → q ∧ p ∨ q ∧ q' ) → r' é uma tautologia."
Letra B.

A letra A está errada. Tome (P, Q, R) = (V, F, F) e as três premissas são verdadaieras ao mesmo tempo.

A letra C está errada. Se P for falso, então ora P v Q, ora ~Q será falso. Impossível manter a veracidades das duas últimas premissas com P sendo falso.

A letra D está errada. Para (P,Q) = (F,F) a proposição ~Q→(PvQ) é falsa. Nesse caso, a assertiva não faz menção às premissas do enunciado, portanto, não há mecanismo que faça com que P seja necessariamente verdadeiro.

A letra E está errada. Se ~Q é falso, então Q é verdadeiro. Se Q é verdadeiro, então a premissa (P v Q) é verdadeira. Ou seja, é impossível que ~Q e (P v Q) sejam ambos falsos.

---

16) (2015 - COPEVE-UFAL) Se Bete concluir o relatório antes do prazo, receberá um aumento. Caso Bete receba um aumento, comprará uma máquina fotográfica melhor. Bete terá fotos melhores se obtiver uma máquina fotográfica melhor. Nesse contexto, é correto inferir que
a) Bete terá fotos melhores.
b) Bete não terá um aumento.
c) se Bete não concluir o relatório antes do prazo, não receberá um aumento.
d) se Bete comprar uma máquina fotográfica melhor, é porque recebeu um aumento.
e) se Bete concluir o relatório antes do prazo, obterá uma máquina fotográfica melhor.

Proposições:
P = Bete conclui o relatório antes do prazo;
Q = Bete recebe um aumento;
R = Bete uma máquina fotográfica melhor;
S = Bete tem fotos melhores.

Premissas:
P → Q
Q → R
R → S

A e B estão erradas. Não são conclusões válidas a partir de condições hipotéticas.
C está errada é uma falácia da negação do antecedente: ~P → ~Q.
D está errada é uma falácia da afirmação do consequente: R → Q.
E está certa é o silogismo hipotético (P → Q) ^ (Q → R) ≡ P → R

https://pt.wikipedia.org/wiki/Silogismo_hipot%C3%A9tico

003 - Princípios da argumentação

Dedução ou Indução

Geralmente se define a indução como a passagem do particular ao geral, enquanto a dedução é a passagem do geral para o particular.
Aconselho aos adeptos de concursos considerarem apenas essa definição.

É sempre bom ter uma carta na manga caso necessite entrar com recurso, então acrescento que para a lógica e a filosofia, essa definição nem sempre é aceita. Normalmente, define-se:

Argumento Dedutivo: As premissas servem de provas incontestáveis para chegar a uma conclusão.
Argumento Indutivo: As premissas servem de fundamentos que nos levam a crer que uma conclusão procede. É algo mais probabilístico e incerto.

A dedução funda-se nos princípios lógicos da identidade, da não contradição, do terceiro excluído e da razão suficiente, que são axiomas da Lógica Formal.

A indução não se funda em princípios, mas na regularidade de eventos observáveis. Por exemplo, ao notar que gatos, cachorros, pássaros, humanos, serpentes e anfíbios são mortais, conclui-se que todos os animais são mortais. Aqui está presente os dois principais sentidos da lógica indutiva, que parte do particular para o geral, e que as premissas apontam para uma conclusão provável.

O Cespe parece concordar apenas com a definição "do geral ao particular" (dedução) e "do particular ao geral" (indução).

---

Exercício
Acerca dos argumentos racionais, julgue o item a seguir.

O texto que se segue, produzido por um detetive durante uma investigação criminal, ilustra um raciocínio por indução.

Ontem uma senhora rica foi assassinada em sua casa. No momento do crime, havia uma festa na casa da vítima e nela estavam presentes umas cinquenta pessoas. Dessas cinquenta, é sabido que nove tinham algum tipo de problema com a senhora assassinada. Assim, é plausível supor que o assassino esteja entre essas nove pessoas.

Resposta: Errado. O detetive usou um raciocínio dedutivo, visto que sua suspeita passou das pessoas presentes na festa para os nove desafetos e finalmente para o assassino. Isto é, a suspeita passou do geral para o particular ilustrando a essência do raciocínio dedutivo.

---

Validade do Argumento Dedutivo = Forma (Estrutura)

Argumento válido: A veracidade da conclusão decorre diretamente da veracidade das premissas. A conclusão é verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras. Se o argumento for válido e a conclusão não for verdadeira, então pelo menos uma das premissas não é verdadeira. Ou ainda, é impossível que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa.

A validade se aplica ao argumento e não a declarações individuais.

Exemplo de um argumento válido:
Premissa 1: Todos os cachorros são felinos.
Premissa 2: Todos os felinos são insetos.
Conclusão: Logo, todo os cachorros são insetos.

Apesar das duas premissas e da conclusão serem declarações falsas, a essência do argumento é válida, porque SE AS PREMISSAS FOSSEM VERDADEIRAS, A CONCLUSÃO TAMBÉM SERIA.

Exemplo de um argumento válido com as premissas verdadeiras:
Premissa 1: Todos os cachorros são caninos.
Premissa 2: Todos os caninos são animais.
Conclusão: Logo, todo os cachorros são animais.

Pode-se dizer que a validade de um argumento depende unicamente da estrutura, mas não do conteúdo. Uma estrutura que é válida para um argumento também será válida para qualquer outro.

CUIDADO!: Vale enfatizar que para o argumento ser válido é necessário que a conclusão advenha das premissas. Um argumento com conclusão tautológica não é válido.



Exemplo de um argumento inválido com conclusão tautológica:
Premissa 1: Todos os cachorros são caninos.
Premissa 2: Todos os caninos são animais.
Conclusão: Os cachorros são caninos ou não são caninos.

Nesse último exemplo, a veracidade da conclusão não depende das premissas. A conclusão é sempre verdadeira (tautológica).

Solidez ou Correção do Argumento Dedutivo = Forma (estrutura) + Conteúdo

Argumento sólido (correto): É um argumento válido em que todas as premissas são verdadeiras. Um argumento não é sólido se não for válido ou se alguma premissa for falsa.

2016 - FGV - Ministério das Relações Exteriores - Oficial de Chancelaria (questões de RLM resolvidas)

João olhou as dez bolas que havia em um saco e afirmou:
“Todas as bolas desse saco são pretas”.
Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;

(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.

A) A letra A está errada porque a negação de uma afirmação equivale ao conjunto complementar da afirmação. A negação precisa abranger todos os casos em que a afirmação original seria falsa. Afirmar que nenhuma bola desse saco é preta é um dos casos em que a afirmação seria falsa; é uma condição suficiente para negar o que João disse, mas não é condição necessária. Bastaria que uma ou mais bolas não fossem pretas.
Se não ficou claro, posso dar um exemplo. Imagine que eu te diga que comentei todas as questões de RLM da prova da FGV para o cargo de Oficial de Chancelaria. Você lê a minha postagem e observa que só respondi a duas questões. Você me acusa minha afirmação de falsa. Para me defender eu argumento erroneamente que minha afirmação só seria falsa se eu não tivesse respondido questão alguma e que, logo, sua acusação não procede.
Por isso a negação lógica de “todo” não pode ser “nenhum”.

B) A letra B está errada porque a afirmação abrange dois casos possíveis. No primeiro caso, há 9 bolas pretas e uma bola de outra cor. Nesse cenário, a afirmação do João seria falsa, pois há realmente uma bola que não é preta. Todavia, há uma segunda interpretação possível a letra B, todas as bolas são pretas. Se todas as dez bolas forem pretas, então eu posso corretamente afirmar que “pelo menos 9 bolas são pretas”. Como a negação não contempla esse caso, a assertiva está errada.

C) A letra C está errada pelo mesmo motivo da letra acima.

D) A letra D está certa porque se houver uma ou mais bolas de outra cor que não preta, então o que João disse deixa de ser verdadeiro. Lembre-se que a negação de todo é “existe pelo menos um”, ou “existe algum”, ou “algum”, ou outra expressão semelhante que implique da existência de uma unidade ou mais.

E) A letra E está errada porque pode estar de acordo com o que João disse. Pode ser que todas as bolas sejam pretas e, portanto, nenhuma bola é branca. Ou seja, o fato de nenhuma bola ser branca não exclui a possibilidade de todas serem pretas.

72. Em em supermercado uma embalagem com certa quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação R$/kg.

O preço aproximado de 1,0 kg desse produto é:
(A) R$20,50;
(B) R$21,10;
(C) R$21,80;
(D) R$22,30;
(E) R$22,90.

 Se o preço de 0,160 kg é R$ 3,66, então o preço de um quilo pode ser obtido dividindo 3,66 por 0,160.
Isso porque para transformar 0,160 kg em 1,00 kg, basta dividir 0,160 kg por 0,160.
A mesma operação deve ser aplicada no preço para manter a proporção.
3,66 / 0,160 = R$ 22,875. Aproximadamente 22,90. Muito caro, melhor voltar a comprar mortadela.

73. Considere a sentença:
“Corro e não fico cansado”.
Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: 
(A) Se corro então fico cansado. 
(B) Se não corro então não fico cansado. 
(C) Não corro e fico cansado. 
(D) Corro e fico cansado. 
(E) Não corro ou não fico cansado.

Vamos dizer que:
P = Corro
~Q = Não fico cansado.
A proposição do enunciado pode ser reescrita de forma lógica: P ^ ~Q
A negação dessa proposição é: ~(P ^ ~Q)
Pelo Teorema de DeMorgan, essa negação equivale a: ~P v Q
Por sua vez, essa disjunção pode ser transformada em implicação material: P → Q
Logo, uma das negações de “corro e não fico cansado” é “se corro, então fico cansado”. Adeus Olimpíadas.

Tabela Verdade com as assertivas:

74. Em certo ano, o dia 31 de dezembro caiu em um domingo e, em um reino distante, o rei fez o seguinte pronunciamento:
“Como as segundas-feiras são dias horríveis, elas estão abolidas a partir de hoje. Assim, em nosso reino, cada semana terá apenas 6 dias, de terça-feira a domingo. Portanto, como hoje é domingo, amanhã, o primeiro dia do ano novo, será terça-feira.”
O ano novo não foi bissexto. Então, nesse reino distante, o dia de Natal (25 de dezembro) desse ano caiu em:
(A) uma terça-feira;
(B) uma quarta-feira;
(C) uma quinta-feira;
(D) uma sexta-feira;
(E) um sábado.

O ano tem 365 dias (não, sério capitão óbvio?).
Após a abolição das segundas-feiras, a semana passou a ter 6 dias. Segue o cálculo para provar:
7 dias - 1 dia = 6 dias. Você pode tirar a prova na calculadora.
Natal, dia 25 de dezembro, é o 359º dia do ano. Se você dividir o índice (posição ordinal) do dia por 6, o resto da divisão vai representar o dia da semana conforme tabela a seguir:

Por exemplo, o primeiro dia é 1 e 1/6 = 0 resto 1. Como o resto é igual a 1, o primeiro dia é uma terça-feira.
O vigésimo sétimo dia é 27 e 27/6 = 4 resto 3. Como o resto é igual a 3, o 27º dia é uma quinta-feira.
Logo, basta dividir 359 por 6 para obter resto 5 e descobrir que o Natal vai cair em um sábado.

75. Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15.
Retiram-se aleatoriamente, em sequência e sem reposição, duas bolas da urna.
A probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é: (A) [tex]\frac{1}{2}[/tex]
(B) [tex]\frac{3}{7}[/tex]
(C) [tex]\frac{4}{7}[/tex]
(D) [tex]\frac{7}{15}[/tex]
(E) [tex]\frac{8}{15}[/tex]
Observe primeiramente que há 7 números pares e 8 números ímpares entre 1 e 15.
A probabilidade da primeira bola retirada ser par é igual a 7/15.
A probabilidade da primeira bola retirada ser ímpar é igual a 8/15.
Após a primeira retirada restam 14 bolas na urna.

(i) A probabilidade retirar duas bolas pares é igual a: (7/15) * (6/14);
(ii) A probabilidade de retirar uma bola par e depois uma ímpar é: (7/15) * (8/14);
(iii) A probabilidade de retirar uma bola ímpar e depois uma par é: (8/15) * (7/14);
(iv) A probabilidade retirar duas bolas ímpares é igual a: (8/15) * (7/14).

Uma vez elencado todos os casos possíveis, A; probabilidade de que o número da segunda bola retirada da urna seja par é igual a (i) + (iii).
= (7/15) * (6/14) + (8/15) * (7/14)
>= (7/15) * (3/7) + (8/15) * (1/2)
= (1/5) + (4/15)
= (3/15) + (4/15)
= 7 / 15

76. Lucas é artesão, fabrica vassouras e, certo dia, levou 40 vassouras para vender na feira. Ele começou vendendo cada vassoura por 12 reais e, perto do final, baixou o preço para a metade, terminando o dia com todo o seu estoque vendido, arrecadando 336 reais.
O número de vassouras que Lucas vendeu pelo preço mais alto foi:
(A) 12;
(B) 14;
(C) 15;
(D) 16;
(E) 18.

Essa questão pode ser resolvida por meio de um sistema de equações lineares.
A variával x vai representar o número de vassouras que Lucas vendeu por 12 reais e a variável y vai representar o número de vassouras que Lucas vendeu a 6 reais.
O total de vassouras vendidas foi 40, então:
x + y = 40
A arrecadação pela venda é igual ao preço multiplicado pela quantidade de vassouras
12x + 6y = 336
Se multiplicar a primeira equação por 6 ficamos com:
6x + 6y = 240
Se subtrairmos esse resultado da segunda equação ficamos com:
12x + 6y - (6x + 6y) = 336 - (240)
12x + 6y - 6x - 6y = 336 - 240
6x = 96
x = 16

77. Considere três caixas A, B e C. Na caixa A há dez bolas brancas, na caixa B há doze bolas pretas e na caixa C há oito bolas azuis.
Inicialmente, retiram-se seis bolas da caixa A, que são colocadas na caixa B. A seguir, retiram-se aleatoriamente oito bolas da caixa B, que são colocadas na caixa C. Por último, retiram-se aleatoriamente seis bolas da caixa C, que são colocadas na caixa A.
Ao final desse processo, é correto concluir que:
(A) na caixa A há, no mínimo, quatro bolas azuis;
(B) na caixa A há, no máximo, oito bolas brancas;
(C) na caixa B há, no máximo, dez bolas pretas;
(D) na caixa B há, no mínimo, quatro bolas brancas;
(E) na caixa C há, no máximo, quatro bolas azuis.

Caixa A: 10 bolas brancas;
Caixa B: 12 bolas pretas;
Caixa C: 8 bolas azuis.

Retiram-se 6 bolas brancas de A que são colocadas na caixa B.

Caixa A: 4 bolas brancas;
Caixa B: 12 bolas pretas e 6 bolas brancas;
Caixa C: 8 bolas azuis.

Retiram-se aleatoriamente oito bolas da caixa B, que são colocadas na caixa C.
Aqui é necessário observar que podem ser retiradas conjuntos diferentes de bolas de determinada cor. Por exemplo, é possível retirar 4 bolas pretas e 4 bolas brancas da caixa B. O ideal é identificar os extremos, retirar o máximo possível de determinada cor. Os dois extremos são:
1) Retirar todas as bolas brancas: 2 bolas pretas e todas as 6 bolas brancas.
2) Retirar todas 8 bolas pretas.

Caixa A (4 bolas): 4 bolas brancas;
Caixa B (10 bolas): 4 a 10 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas;
Caixa C (16 bolas): 8 bolas azuis, 2 a 8 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas.

Por último, retiram-se aleatoriamente seis bolas da caixa C, que são colocadas na caixa A.
Usa-se a mesma estratégia da alocação anterior. Verifica-se cada caso ao extremo para saber quantas bolas de cada cor podem restar dentro das caixas.

Caixa A (10 bolas): 4 a 10 bolas brancas, 2 a 6 bolas pretas e 0 a 6 bolas azuis;
Caixa B (10 bolas): 4 a 10 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas;
Caixa C (10 bolas): 2 a 8 bolas azuis, 0 a 8 bolas pretas e 0 a 6 bolas brancas.

(A) na caixa A há, no mínimo, quatro bolas azuis;
Errado. É possível que não haja bolas azuis na caixa A.

(B) na caixa A há, no máximo, oito bolas brancas;
Errado. Pode ser que fiquem 10 bolas brancas na caixa A.

(C) na caixa B há, no máximo, dez bolas pretas;
Certo. Impossível haver mais de 10.

(D) na caixa B há, no mínimo, quatro bolas brancas;
Errado. Contamos 6 bolas brancas.

(E) na caixa C há, no máximo, quatro bolas azuis.
Errado. Podem ter restado todas as 8 bolas azuis na caixa C.

78. Uma turma do curso de Relações Internacionais tem 28 alunos e todos falam inglês. Sabe-se que 17 alunos falam espanhol e que 15 alunos falam francês.
O número mínimo de estudantes dessa turma que falam esses três idiomas é:
(A) 4;
(B) 5;
(C) 6;
(D) 7;
(E) 8.

I = Alunos que falam inglês;
E = Alunos que falam espanhol;
F = Alunos que falam francês;
IE = Alunos que falam inglês e espanhol;
IF = Alunos que falam inglês e francês;
EF = Alunos que falam espanhol e francês;
IEF = Alunos que falam as três línguas.

Total de Alunos = I + E + F - IE - IF - EF + IEF
28 = 28 + 17 + 15 - IE - IF - EF + IEF
28 = 60 - IE - IF - EF + IEF
28 = 60 + IEF - (IE + IF + EF)

Para manter a igualdade é necessário que "IEF - (IE + IF + EF)" seja igual a -32.
O problema quer saber qual é o menor número possível que IEF pode assumir.
Essa questão equivale a descobrir qual é o maior valor que (IE + IF + EF) pode assumir, pois quanto maior (IE + IF + EF) tanto menor será IEF.
Qual é o maior valor possível para IE? Como todos os alunos falam inglês, então não é possível que haja um aluno que fale espanhol, mas não fale inglês.
Portanto, todos os alunos que falam espanhol também falam inglês e IE = 17.
Qual é o maior valor possível para IF? Usando o mesmo raciocínio anterior, IF = 15.
Qual é o maior valor possível para EF? Ao somarmos 17 com 15 obtemos 32, 4 alunos acima do total. Portanto, o máximo de alunos que podem fazer parte da interseção EF é 4.

28 = 60 + IEF - (IE + IF + EF)
28 = 60 + IEF - (17 + 15 + 4)
28 = 60 + IEF - (36)
28 = 24 + IEF
IEF = 4

79. Em uma reunião, as únicas pessoas presentes são políticos de três partidos: PA, PB e PC. Para cada três políticos do partido PA há dois políticos do partido PB e, para cada cinco políticos do partido PB, há quatro políticos do partido PC.
Nessa reunião, a razão entre o número de políticos do partido PB e o número total de políticos é:
(A) [tex]\frac{10}{33}[/tex]
(B) [tex]\frac{11}{34}[/tex]
(C) [tex]\frac{12}{35}[/tex]
(D) [tex]\frac{13}{36}[/tex]
(E) [tex]\frac{14}{37}[/tex]

Se proporção entre PA e PB é de 3:2, então, para se manter a igualdade de uma equação, é necessário multiplicar o número de políticos do Partido A por 2 e o de B por 3.
2*PA = 3*PB
PA = (3/2)*PB

O enunciado informa ainda que para cada cinco políticos do partido PB, há quatro políticos do partido PC.
4*PB = 5*PC
PC = (4/5)*PB

A questão quer saber a razão entre o número de políticos do partido B e o total.
= PB / Total
= PB / (PA + PB + PC)
= PB / ([tex]\frac{3}{2}[/tex]*PB + PB + [tex]\frac{4}{5}[/tex]*PB)
= PB / ([tex]\frac{33}{10}[/tex]*PB)
= 1 / [tex]\frac{10}{33}[/tex]
= [tex]\frac{33}{10}[/tex]

80. André, Beatriz e Carlos são adultos, Laura e Júlio são crianças e todos vão viajar em um automóvel com 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Dos adultos, somente Carlos não sabe dirigir. As crianças viajarão atrás, mas Júlio faz questão de ficar em uma janela.
O número de maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem ocupar os cinco lugares do automóvel é:
(A) 12;
(B) 16;
(C) 18;
(D) 20;
(E) 24.

Podemos pensar assim.
André como motorista, Beatriz de copilota e Carlos com as crianças no banco de trás.

Carlos e as crianças podem permutar entre os 3 lugares de 6 maneiras distintas.
P(3) = 3! = 3*2*1 = 6
Considerando os três lugares disponíveis, podemos representá-los da seguinte maneira: (pessoa atrás do motorista, pessoa sentada no meio, pessoa sentada atrás do banco de passageiro). E usando as iniciais para identificar o nome das pessoas, temos as seis alocações possíveis:
(C, L, J), (J, L, C), (L, C, J), (J, C, L), (C, J, L) e (L, J, C).
Todavia, nas duas últimas posições Júlio está sentado no meio e o enunciado informa que esse menino só aceita ficar em uma janela.
Dessa forma, temos que eliminar os dois últimas casos.
(C, L, J), (J, L, C), (L, C, J), (J, C, L), (C, J, L) e (L, J, C).
Sobram 4 permutações admitidas.

Agora vamos mudar os assentos dos adultos.
De forma muito semelhante, podemos representar os assentos assim: (pessoa dirigindo, pessoa ao lado do motorista, pessoa no banco de trás).
Os três adultos também podem permutar entre os três lugares de seis maneiras diferentes:
(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B) e (C, B, A).
Todavia, nas duas últimas posições Carlos está no volante e ele não sabe dirigir. Portanto, devemos eliminar essas duas alocações.
(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B) e (C, B, A).
Para cada uma entre quatro das posições que os adultos assumirem é possível alocar os passageiros do banco de trás de quatro maneiras distintas conforme explicado anteriormente.
Ao todo, são 4 posições para adultos vezes 4 posições no banco de trás totalizando 16 maneiras diferentes pelas quais essas pessoas podem ocupar os cinco lugares do automóvel.