1) Os números inteiros de 7 a 12 deverão ser distribuídos entre os círculos da figura, de modo que dois números consecutivos não estejam em círculos unidos por uma linha reta.
Colocando o número 11 na posição indicada, o círculo destacado deverá ser preenchido com o número:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Usando a imagem abaixo como referência, as três casas em verde (escuras e clara) são vizinhas (unidas por uma reta).
Então você precisa inserir nelas um conjunto de três números que não sejam sequências. As opções incluem:
{7, 9, 12}
{7, 10, 12}
{8, 10, 12}
Porém repare que o número 11 é vizinho de duas dessas 3 casas. Por isso, não podemos inserir os número 10 e 12 nas casas verdes, visto que necessariamente um deles ficaria ao lado do 11 em contradição ao enunciado.
A única combinação possível de ser inserida nas casas verdes é, portanto, {7, 9, 12}.
Claramente, o 12 deve ficar na casa verde-claro e os números 7 e 9 nas casas verde-escuro.
Restam alocar os números 8 e 10.
Independentemente de qual número você coloque na casa verde-escuro à esquerda, o número 8 não poderá ficar no círculo destacado, pois é vizinho tanto do 7 quanto do 9.
Excluindo essa possibilidade a resposta só pode ser o número 10.
2) (2015 - FUNCERN) Ao aplicar uma prova em sua turma de 1º ano, um professor de matemática observou que 50% dos seus alunos obtiveram nota igual a 4,0. Notou também que 25% deles obtiveram média de notas igual a 7,0 e que a média de notas X do restante dos alunos foi suficiente para que a média geral de notas ficasse em 5,0. Se dez dos alunos que tiraram nota 4,0 e cinco dos alunos do grupo cuja média de notas foi X tivessem tirado 7,0, a média geral de notas subiria para 6,0.
Considerando essas informações, o número de alunos dessa turma e o valor de X são, respectivamente, iguais a
A) 40 e 6,0.
B) 36 e 6,0.
C) 40 e 5,0.
D) 36 e 5,0.
Imagine que o número total de alunos seja n.
Cinquenta por cento de n obtiveram nota 4, logo (n/2) alunos tiraram nota 4.
Vinte e cinco por cento de n tiraram média de nota 7, logo (n/4) alunos tiraram média de nota 7.
Finalmente, os restantes 25% tiraram média de nota X, logo (n/4) alunos tiraram média de nota X.
A média é igual a:
[tex]\frac{4(\frac{n}{2}) + 7(\frac{n}{4}) + X(\frac{n}{4})}{n} = 5[/tex]
[tex]4\frac{1}{2} + 7\frac{1}{4} + X\frac{1}{4} = 5[/tex], multiplicam-se ambos os lados por 4.
8 + 7 + X = 20
X = 20 - 8 - 7
X = 5
Se dez alunos que tiraram 4 e cinco dos que tiraram média de nota X tivessem tirado 7, então a média da turma subiria para 6. A equação passa a ser:
[tex]\frac{4(\frac{n}{2} - 10) + 7(\frac{n}{4} + 15) + 5(\frac{n}{4} - 5)}{n} = 6[/tex]
[tex]\frac{4n}{2} - 40 + \frac{7n}{4} + 105 + \frac{5n}{2} - 25 = 6n[/tex]
[tex]2n + \frac{12n}{4} + 40 = 6n[/tex]
[tex]2n + 3n - 6n = -40[/tex]
[tex]- n = -40[/tex]
[tex]n = 40[/tex]
OBS: Para esse problema funcionar, X deve permanecer constante e igual a 5, mesmo após aumentar a nota de cinco alunos de X para 7. Porque como a nota X é uma média de nota de 10 alunos, pode ser que distribuição não seja uniforme. Talvez os alunos tenham tirado as respectivas notas = 0, 0, 0, 0, 0, 10, 10, 10, 10, 10.
Se os alunos que tiraram 0 fossem para média 7, então o valor de X mudaria para 10 e média da turma seria superior a 6.
[4(n/2 - 10) + 7(n/4 + 15) + 10(n/4 - 5)]/n = 6,625.
Portanto, é necessário que após alocar os alunos, a média X continue sendo igual a 5.
3) (2015 - FUNCERN) Uma escola promoveu uma campanha para arrecadação de alimentos não perecíveis, na qual se envolveram, inicialmente, 60 alunos. Durante 30 dias, estes alunos se dedicaram à arrecadação dos produtos a serem doados a uma comunidade carente situada no entorno da escola. Nos primeiros 10 dias, os alunos trabalharam 4 horas diárias, arrecadando 15 kg de alimentos por dia. Esse resultado motivou 40 novos alunos a se juntarem ao grupo inicial. A partir de então, todo o grupo passou a trabalhar 6 horas por dia, até o final da campanha.
Considerando-se que o ritmo do trabalho de coleta tenha se mantido constante, a quantidade arrecadada de alimentos ao final da campanha foi de:
A) 600 kg
B) 800 kg
C) 800 kg
D) 900 kg
Pode pensar assim:
O número de alunos aumentou de 60 para 100. Cem alunos equivale a 5/3 da quantidade inicial.
O número de horas aumentou de 4 para 6. Seis horas equivalem a 3/2 da quantidade inicial.
Essa nova força de trabalho atuou por 20 dias.
15 kg de alimentos por dia se transformou em 15*(5/3)*(3/2)*20 = 750 kg de alimentos em vinte dias.
Primeiros 10 dias = 150 kg
Últimos 20 dias = 750 kg
Total = 900 kg.
Usando regra de três composta:
| Alimentos (em kg) |
Nº de Alunos |
Nº da horas por dia |
Nº de dias |
| 15 |
60 |
4 |
1 |
| 100 |
6 |
20 |
x |
A grandeza da incógnita, x, sempre fica isolada em um dos lados da equação.
As demais grandezas aparecem multiplicadas multiplicadas do outro lado da equação. Se alguma grandeza for inversamente proporcional à da incógnita, inverte-se o numerador e denominador, mas não é o caso para esse problema em que todas as grandezas são diretamente proporcionais (i.e. enquanto mais alunos, mais quilos de alimento; enquanto mais horas, mais quilos de alimento; e enquanto mais dias, mais quilos de alimento).
[tex]\frac{15}{x}=\frac{60}{100}*\frac{4}{6}*\frac{1}{6}[/tex]
[tex]\frac{15}{x}=\frac{240}{12.000}[/tex]
[tex]\frac{x}{15}=\frac{12.000}{240}\frac{1.200}{24}=\frac{100}{2}=50[/tex]
[tex]x=50*15= 750 kg[/tex]
4) Se n é um número natura não-nulo, então, a expressão [tex]\frac{3^{n+4}-3(3^{n})}{3(3^{n+3})}[/tex] é igual a:
A) 26 / 27
B) 2 / 3
C) 8 / 9
D) 80 / 81
A forma fácil de se resolver é substituir n por 1, visto que n pode ser qualquer número inteiro não-nulo.
[tex]\frac{3^{1+4}-3(3^{1})}{3(3^{1+3})}[/tex]
[tex]\frac{3^{5}-3(3)}{3(3^{4})}[/tex]
[tex]\frac{243-9}{3(81)}[/tex]
[tex]\frac{234}{243}[/tex]
[tex]\frac{26}{27}[/tex]
Se quiser manter n intacto:
[tex]\frac{3^{n+4}-3(3^{n})}{3(3^{n+3})}[/tex]
[tex]\frac{3^{n+4}-(3^{n+1}}{3^{n+4}}[/tex]
[tex]\frac{3^{n+4}}{3^{n+4}}-\frac{3^{n+1}}{3^{n+4}}[/tex]
[tex]1-\frac{1}{3^{3}}[/tex]
[tex]1-\frac{1}{27}[/tex]
[tex]\frac{26}{27}[/tex]
5) Um técnico judiciário deve agrupar 4 processos do juiz A, 3 do juiz B e 2 do juiz C, de modo que os processos de um mesmo juiz fiquem sempre juntos e em qualquer ordem. A quantidade de maneiras diferentes de efetuar o agrupamento é de?
Permutação entre os grupos A, B e C = P(3) = 3! = 3*2*1 = 6.
{ABC}{ACB}{BAC}{BCA}{CAB}{CBA}
Permutação entre os processos de A = P(4) = 4! = 4*3*2*1 = 24.
Permutação entre os processos de B = P(4) = 3! = 3*2*1 = 6.
Permutação entre os processos de C = P(4) = 2! = 2*1 = 2.
Ao todo: 6 * 24 * 6 * 2 = 1728
6) (CESGRANRIO) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Então, supondo que o casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é:
A) [tex]\frac{3}{16}[/tex]
B) [tex]\frac{1}{16}[/tex]
C) [tex]\frac{3}{8}[/tex]
D) [tex]\frac{1}{8}[/tex]
E) [tex]\frac{9}{16}[/tex]
Pode-se calcular duas probabilidades usando a fórmula binomial, mas eu acho que é mais fácil subtrair o complemento do todo.
Chances de nascerem todos meninos: (1/4) * (1/4) * (1/4) = 1/64
Chances de nascerem todas meninas: (3/4)*(3/4)*(3/4) = 27/64
Complemento: (1/64)+(27/64)=(28/64)
Total = 1 - Complemento = (64/64) - (28/64) = (36/64) = (9/16) = chances de nascerem exatamente dois meninos ou duas meninas.
Para calcular diretamente, seria:
(A) Chances de nascerem exatamente dois meninos = (1/4) * (1/4) * (3/4) * 3 = 9/64.
(B) Chances de nascerem exatamente duas meninas = (3/4) * (3/4) * (1/4) * 3 = 27/64.
Total = (A) ou (B) = (A) + (B) = (9/64) + (27/64) = 36/64 = 9/16
OBS: O motivo de se multiplicar por 3 é porque a ordem que eles nascem não é importante, então poderiam ser 3 casos, XYY ou YXY ou YYX.
7) (ESAF) Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do DNIT serão selecionados ao acaso de um grupo com 4 homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecionados 2 homens e 1 mulher e igual a:
A) 55%
B) 40%
C) 60%
D) 45%
E) 50%
Resolvendo usando regra de conjuntos:
(A) Combinações de 2 homens entre 4: C(4,2) = 6;
(B) Combinações de 1 mulher entre 2: C(2,1) = 2;
(C) Combinações totais possíveis de 3 pessoas entre 6: C(6,3) = 20.
Casos favoráveis = Dois homens E uma mulher = (A) * (B) = 12
Casos possíveis = (C) = 20
Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis = 12 / 20 = 60%.
Resolvendo por probabilidade:
Probabilidade de escolher aleatoriamente uma mulher : 2/6
Probabilidade de escolher aleatoriamente um homem: 4/5
Probabilidade de escolher aleatoriamente outro homem: 3/4
Os três eventos acima podem ocorrer em 3 ordens diferentes (MHH), (HMH) ou (HHM).
Ao todo: (2/6) * (4/5) * (3/4) * 3 = 72/120 = 36/60 = 6/10 = 60%
8) Em uma obra literária de romance cujo tema é detetive, o autor montou uma cena de crime em que um senhor, agora viúvo, se via na frente de sua esposa morta, em sua mansão. O detetive fez uma pergunta aos cinco suspeitos do assassinato, eram eles: Mordomo, Jardineiro, Faxineira, Amante do senhor viúvo e o próprio senhor viúvo. Apenas um deles era o assassino. As respostas dos suspeitos foram:
Mordomo: “Senhor, sou inocente!”
Jardineiro: “Detetive, a Faxineira é a assassina!”.
Faxineira: “O senhor, que agora viúvo está, é o assassino!”.
Amante do Senhor: “O mordomo falou a verdade!”.
Senhor Viúvo: “Meu jardineiro mentiu!”.
Na obra literária, o detetive estava convicto que apenas um deles mentiu, e concluiu que o assassino só poderia ser ____________________.
Assinale a alternativa que preenche corretamente a solução do crime pelo detetive. Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é
A) Mordomo.
B) Jardineiro.
C) Viúvo.
D) Faxineira.
E) Amante.
O detetive estava convicto que apenas um deles mentiu.
A estratégia é encontrar quem mentiu. Você pode usar reductio ad absurdum, assumir que todos dizem a verdade e procurar por uma contradição.
A contradição fica logo aparente quando duas pessoas, que supostamente falam a verdade, acusam dois suspeitos diferentes:
Jardineiro: -"A faxineira é a assassina".
Faxineira: -"O senhor viúvo é o assassino."
Como há apenas um assassino, logicamente, ora o jardineiro, ora a faxineira mentiu.
Portanto, todos os outros dizem a verdade.
Como todos os outros dizem a verdade, o senhor viúvo não é exceção.
Conclui-se que o senhor viúvo é o assassino após ele afirmar veridicamente que o jardineiro é o mentiroso.
9) Uma fábrica de bolas de golfe enfrenta um sério problema e conta com um dos seus funcionários para resolvê-lo. No mês passado, um total de 10.000 bolas oficiais foi produzido em 100 lotes com 100 bolas cada. A massa de uma bola de golfe oficial é de 45,93 gramas; no entanto, em apenas 1 dos 100 lotes produzidos, um dos revestimentos internos não foi aplicado nas bolas e, por isso, a massa delas ficou 0,5 grama abaixo da massa oficial, em 45,43 gramas. Os lotes produzidos foram numerados de 1 a 100, para o controle interno, mas não se sabe o número do lote defeituoso.
Um funcionário da fábrica precisa descobrir o número do lote defeituoso e dispõe apenas de uma balança de precisão adaptada para medição em escala, sendo capaz de medir a massa de até 6.000 bolas de uma única vez.
O número mínimo de pesagens que permite ao funcionário estabelecer uma estratégia de pesagem capaz de determinar precisamente o número do lote defeituoso é igual a:
A) 1
B) 2
C) 4.950
D) 5.050
E) 6.000
Ele pode pegar por exemplo 5050 bolas, sendo uma bola do lote 1, duas bolas do lote 2, três bolas do lote 3 e assim por diante e pesá-las.
A diferença de peso indicará a qual lote a bola pertence.
Se a diferença for de 0,5 grama, então o lote 1 é defeituoso; se a diferença for de 5 gramas, então o lote 10 é defeituoso; se a diferença for de 12,5 gramas, então o lote 25 é defeituoso, etc. Basta uma única pesagem.
10) Em uma empresa trabalham 100 mulheres e 200 homens. No final do ano passado, 70% das mulheres e 25% dos homens receberam opções de ações da empresa, um lote por pessoa contemplada com este benefício. Na última apuração dessas opções, constatou-se que 70% dessas mulheres que receberam opções de ações no fim do ano passado, além de manterem seus lotes, compraram todas as opções de ações que haviam sido dados aos homens, beneficiados no fim do ano passado. É correto afirmar que:
A) Uma das mulheres comprou pelo menos dois lotes de opções de ações.
B) Duas das mulheres compraram, cada uma, pelo menos dois lotes de opções de ações.
C) Um dos homens vendeu para, pelo menos, duas mulheres.
D) Dois dos homens venderam para, pelo menos, duas mulheres.
E) Cada mulher que comprou dos homens, somente pode comprar um único lote.
Colocando em termos absolutos:
Há 100 mulheres e 200 homens trabalhando em um empresa.
70% das mulheres (70 mulheres) receberam opções de ações da empresa.
25% dos homens (50 homens) receberam opções de ações da empresa.
70% dessas mulheres (70% de 70 = 49 mulheres) compraram todas as opções de ações que estavam sob posse dos homens.
Se 49 mulheres compraram 50 opções, então necessariamente uma delas comprou duas opções.
11) Se uma andorinha só não faz verão, então a cobra vai fumar. Se uma andorinha só faz verão, então o cão que ladra, morde. Ora, mas o cão que ladra não morde. Portanto:
A) uma andorinha só faz verão e a cobra vai fumar.
B) uma andorinha só faz verão e a cobra não vai fumar.
C) uma andorinha só não faz verão e a cobra vai fumar.
D) uma andorinha só não faz verão e a cobra não vai fumar.
E) se o cão que ladra, morde; então a cobra não vai fumar.
"Se uma andorinha só faz verão, então o cão que ladra morde"
Usando a transposição, essa sentença equivale a:
"Se o cão que ladra não morde, então uma andorinha só não faz verão".
Como é sabido que o cão que ladra não morde, conclui-se que uma andorinha só não faz verão e, consequentemente, a cobra vai fumar.
12) Todo domingo, Charles e Eric jogam cinco partidas seguidas de xadrez entre si. Eles convencionaram que devem sortear quem começa a primeira partida e, a partir da segunda, começa quem tiver perdido a partida anterior.
Sabe-se que Charles ganha duas a cada três partidas em que começa , enquanto Eric ganha três a cada quatro partidas em que começa.
Sabendo-se que Charles começou a primeira partida, qual é a probabilidade de Eric começar a terceira?
A) 7/18
B) 5/12
C) 4/9
D) 17/36
E) 1/2
Para Eric começar a terceira, Charles deve vencer a segunda partida.
Há duas possibilidades:
(A) Charles ganha a primeira (2/3) E Charles ganha a segunda partida em que Eric começou (1/4):
2/3 * 1/4 = 1/6
(B) Charles perde a primeira (1/3), mas ganha a segunda partida em que Charles começou (2/3):
1/3 * 2/3 = 2/9
Ao todo, (A) ou (B) = (A) + (B) = 1/6 + 2/9 = 7/18 de chances de Eric começar a terceira partida.
13) Se o dia 3 de fevereiro de 2012 foi uma sexta-feira, então o dia 17 de setembro do referido ano aconteceu em qual dia da semana?
A) Terça-feira.
B) Sexta-feira.
C) Quarta-feira.
D) Quinta-feira.
E) Segunda-feira.
O ano 2012 foi bissexto, então fevereiro teve 29 dias.
29 (Fev) + 31 (Mar) + 30 (Abr) + 31(Mai) + 30 (Jun) + 31 (Jul) + 31 (Ago) + 30 (Set) = 243 dias
Se dia 3 de fevereiro foi um sexta-feira, então, todos os múltiplos de 7 subsequentes foram sextas.
3, 10, 17, 25, 32, etc.
Os dias 7, 14, 21, 28, etc. foram terças-feiras.
Dia 17 de setembro foi o 230º dia a contar do dia 01/02/2012, pois 243-13 = 230.
230 / 7 = 32 e sobram 6.
Isso significa que dia 224 foi uma terça-feira e seis dias depois foi uma segunda-feira.
Logo, dia 17 de setembro foi segunda-feira.
14) Dado um conjunto X contido em U, [tex]\overline{X}[/tex] é o conjunto dos elementos de U que não pertencem ao conjunto X.
Sejam A e B dois conjuntos contidos no conjunto-universo U. O conjunto [tex]\overline{\overline{\overline{A}\cup B}\cup C}[/tex] corresponde a:
A) [tex]\overline{A}\cap B \cap \overline{C}[/tex]
B) [tex]\overline{A}\cup B \cup \overline{C}[/tex]
C) [tex](\overline{A}\cup B) \cap \overline{C}[/tex]
D) [tex](\overline{A}\cap B) \cup \overline{C}[/tex]
E) [tex](A\cup \overline{B}) \cap C[/tex]
As equivalências lógicas também se aplicam aos conjuntos.
O enunciado equivale à seguinte expressão:
~[ ~(~A v B) v C) ]
Se você substituir ~(~A v B) por P e C por Q para simplificar.
~[P v Q]
Aplica o Teorema de DeMorgan:
~[ P v Q] ≡ ~P ^ ~Q
Substitui P e Q pelos seus respectivo valores:
= ~P ^ ~Q
= ~~(~A v B) ^ ~C
= (~A v B) ^ ~C
= [tex](\overline{A}\cup B) \cap \overline{C}[/tex]
(2015 - CESPE - MEC) Um jogo é constituído de um tabuleiro com 4 filas (colunas) numeradas de 1 a 4 da esquerda para direita e de 12 pedras — 4 de cor amarela, 4 de cor verde e 4 de cor branca. Essas 12 pedras devem ser distribuídas nesse tabuleiro de modo que cada fila contenha exatamente três pedras, todas de cores diferentes. Uma jogada será considerada válida se as 12 pedras estiverem distribuí das de acordo com essas regras.
A figura acima apresenta uma possível jogada válida.
A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada fila, a ordem das pedras é definida de cima para baixo
15) O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de 2 filas sejam amarelas é inferior a 700.
A solução desse problema é complexa. Recomendo que assistam o vídeo do Canal Matemática & Raciocínio Lógico (YouTube) que demonstra como abordar o problema de forma clara.
https://www.youtube.com/watch?v=VT-CZ3eNu4o
O examinador não deixou claro se é para considerar
exatamente duas fileiras iniciadas por pedras amarelas ou se é para considerar
pelo menos duas fileiras iniciadas com pedras amarelas.
No final das contas, o resultado é inferior a 700 em ambos os casos.
Eu interpretei o enunciado assim:
“O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de [PELO MENOS] 2 filas sejam amarelas é inferior a 700.”
Método 1:
Eu acho que uma maneiras simples e rápida de chegar ao resultado é por meio do cálculo de distribuição de probabilidade.
Cada coluna pode sofrer 6 permutações de suas três peças. As permutações podem ser representadas pelas sequências:
(A, V, B), (A, B, V),
(B, A, V), (B, V, A),
(V, A, B), (V, B, A).
Em que os elementos da esquerda para a direita representam as peças das coluna de cima para baixo.
Para cada coluna há 2 casos entre 6 em que a primeira peça é amerela. Há 4 casos entre 6 em que a peça não é amarela.
Então, pode-se afirmar que, se organizássemos as três pedras aleatoriamente, a probabilidade da primeira pedra ser amarela é igual a 1/3. Vamos chamar essa probabilidade de [tex]P(X)[/tex].
A probabilidade da primeira pedra não ser amarela é igual a 2/3 e representada por [tex]P(\bar X)[/tex].
Considerando as 4 colunas, há 5 hipóteses possíveis sobre como cada coluna se inicia.
A) Todas as quatro primeiras pedras são amarelas;
B) Três pedras iniciais são amarelas e uma é de outra cor;
C) Duas pedras iniciais são amarelas e duas são de outra cor;
D) Uma pedra inicial é amarelas e as demais são de outra cor;
E) Nenhuma das pedras iniciais é amarela.
Dado um tabuleiro aleatório, qual é a probabilidade da hipótese A ocorrer?
[tex]P(A)=P(X)*P(X)*P(X)*P(X)[/tex]
[tex]P(A)=P(X)^{4}[/tex]
[tex]P(A)=(\frac{1}{3})^{4}[/tex]
[tex]P(A)=(\frac{1}{81})[/tex]
Qual é a probabilidade da hipótese B ocorrer?
[tex]P(B)=P(X)*P(X)*P(X)*P(\bar X)*(\frac{P(4)}{P(3)}[/tex]
[tex]P(B)=4*P(X)^{3}*P(\bar X)[/tex]
[tex]P(B)=4*(\frac{1}{3})^{3}*\frac{2}{3}[/tex]
[tex]P(B)=(\frac{8}{81})[/tex]
OBS: O P(4) no numerador refere-se a permutações entre as 4 colunas, visto que a coluna que não se inicia com uma pedra azul ou verde precisa ser a última coluna. O P(3) no denominador é por causa dos elementos repetidos, ou seja, as três colunas que de fato começam com uma pedra amarela.
Qual é a probabilidade da hipótese C ocorrer?
[tex]P(C)=P(X)*P(X)*P(\bar X)*P(\bar X))*(\frac{P(4)}{P(2)P(2)}[/tex]
[tex]P(C)=6*P(X)^{2}*P(\bar X)^{2}[/tex]
[tex]P(C)=6*(\frac{1}{3})^{2}*(\frac{2}{3})^{2}[/tex]
[tex]P(C)=(\frac{24}{81})[/tex]
Qual é a probabilidade da hipótese D ocorrer?
[tex]P(D)=P(X)*PP(\bar X)*P(\bar X)*P(\bar X)*(\frac{P(4)}{P(3)}[/tex]
[tex]P(D)=4*P(X)*P(\bar X)^{3}[/tex]
[tex]P(D)=4*\frac{1}{3}*(\frac{2}{3})^{3}[/tex]
[tex]P(D)=(\frac{32}{81})[/tex]
Qual é a probabilidade da hipótese E ocorrer?
[tex]P(E)=P(\bar X)*P(\bar X)*P(\bar X)*P(\bar X)[/tex]
[tex]P(E)=P(\bar X))^{4}[/tex]
[tex]P(E)=(\frac{2}{3})^{4}[/tex]
[tex]P(E)=(\frac{16}{81})[/tex]
Há quantos jogos válidos?
Há P(3) ordens válidas em cada coluna, então há
[tex]P(3)^{4}=6^{4}=1296[/tex] jogos válidos.
Quantos desses jogos não atendem ao enunciado?
1296 * P(D) = 1296 * (32/81) = 512
1296 * P(E) = 1296 * (16/81) = 256
Há quantos jogos em que pelo menos duas colunas começam com pedras amarelas?
Total - Casos não atendem ao enunciado = casos que atendem enunciado
1296 - 512 - 256 = 528
Portanto, há 528 jogos diferentes em que pelo menos duas colunas começam com pedras amarelas.
Gabarito: CERTO
Método 2:
Para resolver essa questão, é recomendado que o candidato saiba fazer contagens usando permutações (com e sem repetição).
Há 3 possibilidade a serem calculadas:
A) Exatamente duas colunas começam com uma pedra amarela.
B) Exatamente três colunas começam com uma pedra amarela.
C) Todas as quatro colunas começam com uma pedra amarela.
A) Exatamente duas colunas começam com uma pedra amarela:
Vamos assumir que a primeira coluna comece com uma pedra amarela.
A _ _ _
_ _ _ _
_ _ _ _
Quanta jogadas são possíveis para preencher as duas linhas restantes da primeira
coluna? É uma permutação de dois elementos P(2) = 2! = 2.
As sequências possíveis são (A, V, B) ou (A, B, V) em que os elementos da esquerda para a direita correspondem às fileiras de cima para baixo.
Quantas jogadas são possíveis para a segunda coluna? É igual à primeira.
Quantas jogadas são possíveis para a terceira e quarta colunas? Essas duas últimas podem iniciar com V ou B, então há duas vezes mais permutações possíveis do que nas duas primeiras colunas. São elas (V, A, B), (V, B, A), (B, A, V) e (B, V, A).
Então todas as jogadas possíveis em que há exatamente duas pedras amarelas nas primeira casa das duas primeiras colunas são 2 * 2 * 4 * 4 = 64.
As duas pedras amarelas não precisam estar necessariamente nas duas primeiras colunas.
As colunas podem ser representadas por dois grupos:
X = as que começam com pedra amarela;
Y = as que começam com pedras de outra cor.
Quantas permutações são possíveis entre os elementos da sequência (X, X, Y, Y)?
Trata-se de uma permutação de 4 casas com 2 e 2 elementos repetidos.
Prep(4) = 4! / (2!2!) = 6 possibilidades:
Ao todo ficamos: (2 * 2 * 4 * 4) * 6 =
384 possibilidades em que exatamente duas colunas começam com uma pedra amarela.
B) Exatamente três colunas começam com uma pedra amarela.
Usando o mesmo raciocínio acima, temos 2 possibilidades para as três colunas que começam com uma pedra amarela e 4 possibilidades para a coluna que começa com uma pedra verde ou branca. Existem 4 permutações possíveis para {X, X, X, Y}.
Ao todo: 2 * 2 * 2 * 4 * 4 =
128 possibilidades.
C) Todas as quatro colunas começam com uma pedra amarela.
Finalmente, para uma jogada em que todas as pedras iniciais são amarelas há: 2 * 2 * 2 * 2 =
16 possibilidades.
O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de [PELO MENOS] 2 filas sejam amarelas é igual a 384 + 128 + 16 = 528. Como 528 é inferior a 700, a assertiva está
CERTA.
O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de [EXATAMENTE] 2 filas sejam amarelas é igual a 384. Como 384 é inferior a 700, a assertiva está
CERTA também.
Cabe recurso contra o gabarito preliminar que veio como
ERRADA.
Um quadro com o que foi calculado acima:
Tabela em que constam todas as possibilidades:
16) O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida é superior a 1.200.
Há 6 permutações válidas para cada coluna, então o número total de jogadas válida é dado pelo arranjo com repetição Arep(6,4) = 64 = 1296.
17) O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de cada fila sejam sempre verdes é inferior a 20.
Se mantivermos a cor da primeira pedra for verde, então há 2 permutações válidas para cada coluna e o número total de jogadas válida é dado pelo arranjo com repetição Arep(2,4) = 24 = 16.
18) Dois números reais não negativos, representados por x e y, são tais que x7. Se y=x-3, então se tem, obrigatoriamente,
A) y > 7
B) x ≥ 11
C) 0 ≤ y ≤ 4
D) 4 ≤ y < 7
E) 3 ≤ x ≤ 10
Como y = x - 3 é verdadeiro, segue que x > y.
Se x > y, então y ≤ 7
Os valores válidos para y são [0, 7]
Os valores válidos para x são [3, 10]. É o intervalo da última assertiva.
19) Sabendo-se que os termos da sequência (20, x , 50) são inversamente proporcionais aos termos da sequência (40, 20, y), é correto afirmar que a razão (y/x) é igual a?
A) 1/8.
B) 1/5.
C) 1/4.
D) 3/8.
E) 2/5.
20 está para 1/40, assim como
x está para 1/20, assim como
50 está para 1/y.
x = 1/20
50 = 1/y
Fazendo uma regra de três ficamos com:
x/y = 50/20
y/x = 2/5
20) Negar logicamente a proposição "Todo homem é rico" é dizer que
A) "todo homem é pobre"
B) "algum homem não é rico"
C) "quer é homem é rico"
D) "não existe homem rico"
A negação de afirmações do tipo "todo A é B" é "existe algum A que não é B" e similares. Se existe algum homem que não é rico, então não é verdade que "todo homem é rico".
A assertiva que geralmente gera dúvida nesse tipo de questão é a letra D.
O propósito da argumentação lógica é chegar a uma verdade (conclusão) a partir de premissas ou axiomas.
Imagine que durante um debate o seu amigo diga:
-"Todo homem é rico".
Você precisa refutar a afirmação dele. Aí você retruca:
-"Discordo. Existem homens que não são ricos. O meu amigo John Doe, por exemplo, não é rico."
E seu amigo replica:
-"Meu argumento continua válido, pois para desqualificá-lo você precisa provar que inexistam homens ricos" (letra D).
A negação é suficiente e necessária para inverter a veracidade do argumento.
A letra
B é suficiente e necessária.
A letra D é suficiente, mas não é necessária.
21) Em frente à casa onde moram João e Maria, a prefeitura está fazendo uma obra na rua. Se o operário liga a britadeira, João sai de casa e Maria não ouve a televisão. Certo dia, depois do almoço, Maria ouve a televisão.
Pode-se concluir, logicamente, que
A) João saiu de casa.
B) João não saiu de casa.
C) O operário ligou a britadeira.
D) O operário não ligou a britadeira.
E) O operário ligou a britadeira e João saiu de casa.
Adote as seguintes abreviações:
B = O operário liga a britadeira
J = João sai de casa
M = Maria ouve a televisão
O enunciado apresenta duas premissas e pede por uma conclusão. As premissas são:
B → (J ^ ~M)
M
Usando a equivalência da transposição, observe que B → (J ^ ~M) é igual a:
~(J ^ ~M) → ~B
E pela Lei de DeMorgan equivale a:
(~J v M) → ~B
Logo, se Maria ouve televisão, ou se João não sai de casa, então conclui-se que o operário não liga a britadeira.
Se ele tivesse ligado a britadeira, então Maria não teria ouvido a televisão
22) (2013 - CEPERJ) O professor Reginaldo resolveu fazer uma gincana e dividiu a turma em três grupos, denominando-os grupos A, B e C. No grupo A, havia seis alunos; no B, cinco alunos; e no C, cinco alunos. O professor colocou bolas em um saco, em que cada bola tinha o nome do aluno e o grupo ao qual pertencia, ou seja, havia seis bolas com a letra A, cinco com a letra B e cinco com a letra C. Reginaldo usou bolas que têm o mesmo tamanho e pesos iguais. Para dar início à gincana, ele retirou, de forma aleatória, duas bolas sucessivamente, sem reposição. A probabilidade de sair pelo menos uma bola do grupo A é igual a:
A) 1/8
B) 1/4
C) 3/8
D) 1/2
E) 5/8
A = 6 bolas
B = 5 bolas
C = 5 bolas
É mais fácil calcular pela probabilidade complementar. A probabilidade de sair pelo menos uma bola do grupos A, P(A+) é igual a:
100% - A probabilidade de não sair nenhuma bola do grupo A, P(~A).
P(A+) = 1 - P(~A)
P(A+) = 1 - (10/16 * 9/15)
P(A+) = 1 - (1/8 * 3)
P(A+) = 1 - 3/8
P(A+) = 5/8.
Mesmo raciocínio, mas usando combinações:
Combinações totais de 2 bolas entre 16 = C(16,2) = 120.
Combinações de 2 bolas que não sejam brancas = C(10,2) = 45.
Combinações em que há ao menos uma bola branca = C(16,2) - C(10,2) = 75.
Probabilidade solicitada = 45/120 = 5/8.
Se quiser usar a fórmula da probabilidade diretamente, é necessário calcular e somar três hipóteses diferentes:
1) A probabilidade de sair uma bola do grupo A na primeira retirada, mas não na segunda é igual a 6/16 * 10/15 = 1/4.
2) A probabilidade de sair uma bola do grupo A na segunda retirada, mas não na primeira é igual a 10/16 * 6/15 = 1/4.
3) A probabilidade de saírem duas bolas do grupo A é igual a 6/16 * 5/15 = 1/8.
A soma dessas três possibilidades é igual a (1/4) + (1/4) + (1/8) = 5/8
23) Um automóvel fez um percurso de uma cidade cidade A,até uma cidade B com velocidade constante de 60km/h.Em seguida prosseguiu na viagem da cidade B até uma cidade C,com velocidade de 90km/h.Considerando que a distância da cidade B até a cidade C é igual a distância entre A e B,a velocidade média desenvolvida pelo automóvel em todo o percurso é de, aproximadamente:
A) 70 km/h.
B) 72 km/h.
C) 75 km/h.
D) 80 km/h.
É possível, usando regra de três. Comparando o tempo de percurso total com um segundo tempo de recurso hipotético em que o carro trafegou sempre a 60 km/h.
Lembrando que: Distância / tempo de percurso = velocidade média
Perceba também que enquanto menor o tempo de percurso, maior é a velocidade média. Logo, são grandezas inversamente proporcionais.
Se o carro tivesse mantido a velocidade constante de 60 km/h, então faria o percurso da cidade A a B em T minutos, e de B a C em T minutos também.
Tempo de percurso hipotético = T + T = 2T
Velocidade média = 60.
O carro do enunciado fez o percurso entre A e B em T minutos e entre B e C em (2/3) de T (proporção devido a 90 ser 3/2 mais veloz que 60).
Tempo de percurso real = T + (2/3)T = (5/3) T
Velocidade média = x.
Velocidade média vs. Tempo de percurso
1/60 está para 2, assim como
1/x está para 5/3
regra de três:
(5/3) / 60 = 2 / x
x = 120 / (5/3)
x = 360 / 5
x = 72 km/h
24) O trapézio ABCD representa um terreno cuja área é de 1.350 m². Sabe–se que ABPD é um quadrado. A medida do lado do quadrado é igual à medida do segmento PC.
O valor mais próximo do perímetro do terreno ABCD é
A) 120 m.
B) 144 m.
C) 162 m.
D) 196 m.
Área quadrado = x²
Área triangulo = (1/2)x²
Área Total = 1,5x² = 1350
x² = 900
x = 30
Perímetro = 4x + √1800
=4(30)+√(2*9*100)
=120+30√2
≈120+(30*1,41)
≈120+42,3
≈162,3
25) Uma urna contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 3 amarelas. Desta urna, três bolas são selecionadas ao acaso e com reposição. A probabilidade de que, entre as 3 selecionadas, no máximo duas sejam pretas é
A) 0,976
B) 0,936
C) 0,875
D) 0,784
E) 0,652
P(preta) = 4/10 = 0,4
P(não preta) = 1 - P(preta) = 0,6
O enunciado quer a probabilidade de selecionar qualquer sequência, exceto 3 bolas pretas.
1 - P(preta, preta, preta)
= 1 - 0,4³
= 1 - 0,064
= 0,936
26) Determine a equação da reta que satisfaz às seguintes condições:
A inclinação é de 150° e passa pela origem.
tan(Ɵ) = Lado oposto / Lado Adjacente
Como o lado oposto é valor de Y e o lado Adjacente é o valor de X, tem-se que tan(Ɵ) = Y / X = inclinação da reta.
A equação de uma reta que passa pela origem e tem inclinação de 150° é igual a:
y = tan(150°)x
27) Márcio, Marta e Mônica foram a um restaurante onde a comida custava R$ 25,00 por kg. Considere que os consumos foram:
Marta – 300 g;
Márcio – 700 g; e,
Mônica – 4/3 do que Marta consumiu.
Márcio irá pagar a conta sozinho e deverá desembolsar uma quantia de
A) R$ 32,50.
B) R$ 35,00.
C) R$ 37,00.
D) R$ 42,50
25(R$/Kg) = 0,025(R$/g)
"A Dolorosa" = [300g + 700g + (4/3)300g] * 0,025(R$/g)
"A Dolorosa" = (300g + 700g + 400g) * 0,025(R$/g)
"A Dolorosa" = (1400g) * 0,025(R$/g)
"A Dolorosa" = 35,0 R$
28) (VUNESP) Uma professora levou alguns alunos ao parque de diversões chamado Sonho. Desses alunos:
16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa.
6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho.
Ao todo,20 já andaram de montanha russa.
Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho.
Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho:
A) 35 alunos.
B) 43 alunos.
C) 46 alunos.
D) 48 alunos.
E) 50 alunos.
20 já andaram de montanha russa
18 nunca haviam ido ao parque Sonho.
6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho.
Logo, 14 já andaram de montanha russa E estiveram no parque Sonho.
12 nunca andaram de montanha russa NEM estiveram no parque sonho.
Total de alunos:
-12 (nunca foram a uma montanha russa nem ao parque)
-6 (foram a uma montanha russa, mas não foram ao parque)
-16 (nunca foram a uma montanha russa, mas foram ao parque)
-14 (foram a uma montanha russa e ao parque)
48 alunos ao todo.
29) Um pai compra 8 presentes diferentes para distribuir entre seus três filhos. Sabendo-se que o filho mais velho vai receber 2 presentes, o filho do meio 3 presentes e o mais novo 3 presentes, de quantas maneiras diferentes o pai pode distribuir os presentes entre seus filhos?
A) 210
B) 320
C) 480
D) 560
E) 640
Você pode pensar em oito casas que representam os presentes. Você deve alocar os três filhos nessas casas. Se cada filho pode ser representado pelas letras V, M e N em que V representa o mais velho, M o do meio e N o mais novo, então o grupo de 8 letras a serem alocadas será igual a {V, V, M, M, M, N, N, N}.
A solução do problema é uma permutação de 8 casas com 2, 3 e 3 elementos repetidos.
Pr(8) = 8! / (2!3!3!)
Pr(8) = 8*7*6*5*4*3*2 / 2*3*2*3*2
Pr(8) = 8*7*5*2
Pr(8) = 560
Outra forma de raciocinar é considerar a distribuição dos presentes em ordem.
Como
a ordem de presentes não importa, o filho mais velho vai receber uma
combinação de 2 presentes entre 8.
C(8,2) = 28.
Restam agora 6 presentes, dos quais 3 serão dados ao filho do meio:
C(6,3) = 20.
Finalmente, sobram 3 presentes que serão entregues ao filho mais novo:
C(3,3) = 1.
Então as combinações totais possíveis são C(8,2) * C(6,3) * C(3,3) = 28*20*1 = 560.
30) Kayk pretende cercar um terreno cuja largura mede 12 m a menos do que a medida do comprimento. Sabe-se que a área desse terreno mede 253 m quadrado. Uma das dimensões desse terreno mede?
A) 11m
B) 12m
C) 13m
D) 14m
Largura (em metros) = L
Comprimento (em metros) = C
A largura mede 12 metros a menos que o comprimento:
L = C - 12
A área de um retângulo é igual ao comprimento vezes a largura:
Área = C * L
253 = C * (C - 12m)
253 = C² - 12C
C² - 12C - 253 = 0
(C - 23)(C + 11) = 0
C = -11 ou 23
Como C não pode ser negativo, o terreno tem comprimento de 23 metros e portanto a largura é de 11 metros. A primeira assertiva está correta.
31) O técnico Rubén Magnano, da seleção masculina de basquete, resolveu premiar dois de seus jogadores com um prêmio total de R$ 17.000,00 de maneira diretamente proporcional ao número de pontos marcados em um certo jogo e inversamente proporcional ao número de faltas cometidas na mesma partida. Leandrinho marcou 36 pontos e cometeu 4 faltas, enquanto que Anderson Varejão fez 24 pontos, cometendo apenas 3 faltas no referido jogo. Quanto recebeu o jogador Leandrinho?
A) R$ 8.000,00
B) R$ 8.200,00
C) R$ 8.500,00
D) R$ 8.800,00
E) R$ 9.000,00
as constantes de proporção serão (36/4) para Leandrinho e (24/3) para Anderson Varejão.
(36/4)x + (24/3)x = 17.000
9x + 8x = 17.000
17x = 17.000
x = 1.000
Leandrinho recebeu 9x, ou seja, R$ 9.000
